Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x^2+y^2=16 e x^2+z^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são todos positivos) e que é limitado por dois cilindros: x^2 + y^2 = 16 e x^2 + z^2 = 16.
Conteúdo da matéria: Cálculo de volumes usando integrais múltiplas.
O que vamos precisar:
  • Entender como configurar integrais duplas ou triplas para calcular volumes.
  • Saber definir os limites de integração com base nas equações dadas.
  • Conhecer um pouco sobre coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que esses cilindros representam. O cilindro x^2 + y^2 = 16 é um cilindro circular com raio 4, orientado ao longo do eixo z. Já o cilindro x^2 + z^2 = 16 também é um cilindro circular com raio 4, mas orientado ao longo do eixo y.
No primeiro octante, esses cilindros se intersectam e formam uma região limitada. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa região.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas. A fórmula geral para o volume V é:
V = integral integral integral , dV
Onde dV = dx,dy,dz. Precisamos definir os limites de integração para x, y e z que correspondem à região delimitada pelos cilindros no primeiro octante.

Passo 4

Vamos determinar os limites para cada variável:
  1. Para x: Como estamos no primeiro octante e os cilindros têm equação x^2 + y^2 <= 16 e x^2 + z^2 <= 16, o valor máximo de x é 4. Então, x varia de 0 a 4.
  2. Para y: Para um valor fixo de x, a equação x^2 + y^2 <= 16 nos dá que y varia de 0 a raiz16 - x^2.
  3. Para z: Similarmente, para um valor fixo de x, a equação x^2 + z^2 <= 16 nos dá que z varia de 0 a raiz16 - x^2.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
V = integral0^4 integral0^raiz16 - x^2 integral0^raiz16 - x^2 dz,dy,dx
Primeiro, integramos em relação a z, depois em relação a y, e por último em relação a x.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em relação a z:
integral0^raiz16 - x^2 dz = raiz16 - x^2 - 0 = raiz16 - x^2
  1. Integral em relação a y:
integral0^raiz16 - x^2 raiz16 - x^2 , dy = raiz16 - x^2 cdot raiz16 - x^2 = 16 - x^2
  1. Integral em relação a x:
integral0^4 (16 - x^2) , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a última integral:
integral0^4 (16 - x^2) , dx = integral0^4 16 , dx - integral0^4 x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^4 16 , dx = 16x |0^4 = 16 times 4 - 16 times 0 = 64
integral0^4 x^2 , dx = x^33 |0^4 = 643 - 0 = 643
Então:
V = 64 - 643 = 1923 - 643 = 1283

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x^2+y^2=16 e x^2+z^2=16, é 1283 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados