Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos positivos) e que é limitado por dois cilindros: e .
Conteúdo da matéria: Cálculo de volumes usando integrais múltiplas.
O que vamos precisar:
Entender como configurar integrais duplas ou triplas para calcular volumes.
Saber definir os limites de integração com base nas equações dadas.
Conhecer um pouco sobre coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que esses cilindros representam. O cilindro é um cilindro circular com raio 4, orientado ao longo do eixo . Já o cilindro também é um cilindro circular com raio 4, mas orientado ao longo do eixo .
No primeiro octante, esses cilindros se intersectam e formam uma região limitada. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa região.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas. A fórmula geral para o volume é:
Onde . Precisamos definir os limites de integração para , e que correspondem à região delimitada pelos cilindros no primeiro octante.
Passo 4
Vamos determinar os limites para cada variável:
Para : Como estamos no primeiro octante e os cilindros têm equação e , o valor máximo de é 4. Então, varia de 0 a 4.
Para : Para um valor fixo de , a equação nos dá que varia de 0 a .
Para : Similarmente, para um valor fixo de , a equação nos dá que varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integral em relação a :
Integral em relação a :
Integral em relação a :
Passo 7
Agora, vamos calcular a última integral:
Calculando cada parte:
integral0^4 x^2 , dx = x^33 |0^4 = 643 - 0 = 643
Então:
V = 64 - 643 = 1923 - 643 = 1283
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros x^2+y^2=16 e x^2+z^2=16, é 1283 unidades cúbicas.