(a) S=[lla & b c & d] ; c=a+b e d=0
(b) S=[lla & b 0 & c] ; a, b, c in R (matrizes triangulares superiores)
(c) S=[lla & b b & c] ; a. b, c in R (matrizes simétricas)
(d) S=[lla & a+b a-b & b] ; a, b in R
(e) S=[lla & 1 a & b] ; a, b in R
(f) S=[lla & b c & d] ; ad -b c neq 0 (conjunto de matrizes inversíveis)

Passo 1

O enunciado apresenta vários subconjuntos S de R^2times 2 e pede para verificar quais deles são subespaços vetoriais. O conteúdo é teoria de subespaços: para cada S devemos checar que o zero está em S e que S é fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Critérios para SsubseteqR^2times2 ser subespaço:
  1. 0in S.
  2. Se M1,M2in S então M1+M2in S.
  3. Se Min S e lambdainR então lambda Min S.

Passo 3

(a)
Zero: satisfaz e .
Para com ,
e ,
portanto ainda satisfaz e . Logo é subespaço.

Passo 4

(b) S=la&b0&c;;a,b,cinRr.
Zero está em S. Soma e lambda-multiplicação de matrizes com zero na posição (2,1) preservam esse zero. Logo é subespaço.

Passo 5

(c) .
Zero está em . Soma e -multiplicação de matrizes simétricas continuam simétricas. Logo é subespaço.

Passo 6

(d) .
Zero obtém-se com . Para definidos por ,
Definindo , , vemos que o resultado está na forma . Logo é subespaço.

Passo 7

(e) .
A matriz zero teria elemento igual a , mas em esse elemento é sempre . Logo e não é subespaço.

Passo 8

(f) .
A matriz zero não é invertível ( ), então . Além disso, soma de invertíveis pode ser singular e leva a zero. Logo não é subespaço.

Resposta

(a) Subespaço
(b) Subespaço
(c) Subespaço
(d) Subespaço
(e) Não é subespaço
(f) Não é subespaço

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