- Verificar quais dos problemas a seguir são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
(1)
(2)
(3) (9.)
com as operações usuais
(4)
e
(5)
e
(6)
e
(7)
com as operações usuais
(8)
com as operações usuais
(1)
(2)
(3) (9.)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada um dos oito exemplos, se a estrutura é um espaço vetorial sobre
. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial:
- (A1) fechamento sob adição,
- (A2) comutatividade da adição,
- (A3) associatividade da adição,
- (A4) existência do vetor zero,
- (A5) existência de inversos aditivos,
- (SM1)
, - (SM2)
, - (SM3)
, - (SM4)
, - (SM5) fechamento sob multiplicação escalar.
Para cada caso, checamos os axiomas ou apontamos os que falham.
Passo 2
Caso (1):
com a soma
e a multiplicação escalar usual.
Este é o espaço vetorial canônico: todos os axiomas (A1–A5, SM1–SM5) se verificam.
Este é o espaço vetorial canônico: todos os axiomas (A1–A5, SM1–SM5) se verificam.
Passo 3
Caso (2): mesma soma usual em
, mas
para todo
.
A multiplicação escalar falha em (SM4), pois
A multiplicação escalar falha em (SM4), pois
Logo não é espaço vetorial.
Passo 4
Caso (3): conjunto
com operações usuais.
É fácil ver que é subespaço de : contém o zero (caso
), fechado em soma e escalar. Logo é espaço vetorial.
É fácil ver que é subespaço de
Passo 5
Caso (4):
com
e
.
A soma não está nem em , falha o axioma (A1) de fechamento sob adição. Não é espaço vetorial.
A soma não está nem em
Passo 6
Caso (5):
com soma usual e
.
Verifica A1–A5 e SM2, SM3, mas
Verifica A1–A5 e SM2, SM3, mas
- SM1 falha:
em geral; - SM4 falha:
até aqui OK, mas a falha real é SM1.
Então não é espaço vetorial.
Passo 7
Caso (6):
com soma usual e
.
Quase todos os axiomas batem, mas
Quase todos os axiomas batem, mas
Logo falha SM4, não é espaço vetorial.
Passo 8
Caso (7):
com operações usuais.
É subespaço de : contém
, fechado em soma e escalar. Portanto é espaço vetorial.
É subespaço de
Passo 9
Caso (8):
com operações usuais de matrizes.
Também é subespaço: zero está em , soma e escalar fechadas. Logo é espaço vetorial.
Também é subespaço: zero está em
Resposta
(1) espaço vetorial
(2) não – falha SM4 ( )
(3) espaço vetorial
(4) não – falha A1 (fechamento da soma)
(5) não – falha SM1 (distributividade de soma de escalares)
(6) não – falha SM4 (identidade escalar)
(7) espaço vetorial
(8) espaço vetorial
(2) não – falha SM4 (
(3) espaço vetorial
(4) não – falha A1 (fechamento da soma)
(5) não – falha SM1 (distributividade de soma de escalares)
(6) não – falha SM4 (identidade escalar)
(7) espaço vetorial
(8) espaço vetorial