1. Verificar quais dos problemas a seguir são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
    (1) 11 R^3,(x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, ldots+z^prime)
    (2) k(x, y, z)=(0,0,0)
    (3) (9.) (x, 2 x, 3 x) ; x in R com as operações usuais
    (4) R^2,(a, b)+(c, d)=(a b) e alpha(a, b)=(alpha a, alpha b)
    (5) R^2,(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e alpha(x, y)=(alpha^2 x, alpha^2 y)
    (6) R^2,(x, y)+(x^prime, y^prime)=(x+x^prime, y+y^prime) e alpha(x, y)=(alpha x, 0)
    (7) A=(x, y) in R^2 / y=5 x com as operações usuais
    (8) A=[ll0 & a b & 0] in M(2,2) / a, b in R com as operações usuais

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada um dos oito exemplos, se a estrutura é um espaço vetorial sobre R. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial:
  • (A1) fechamento sob adição,
  • (A2) comutatividade da adição,
  • (A3) associatividade da adição,
  • (A4) existência do vetor zero,
  • (A5) existência de inversos aditivos,
  • (SM1) (alpha+beta)v = alpha v + beta v,
  • (SM2) alpha(v+w)=alpha v + alpha w,
  • (SM3) (alphabeta)v = alpha(beta v),
  • (SM4) 1cdot v = v,
  • (SM5) fechamento sob multiplicação escalar.
    Para cada caso, checamos os axiomas ou apontamos os que falham.

Passo 2

Caso (1): R^3 com a soma (x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z') e a multiplicação escalar usual.
Este é o espaço vetorial canônico: todos os axiomas (A1–A5, SM1–SM5) se verificam.

Passo 3

Caso (2): mesma soma usual em R^3, mas alpha(x,y,z)=(0,0,0) para todo alpha.
A multiplicação escalar falha em (SM4), pois
1cdot(x,y,z)=(0,0,0)neq(x,y,z)para ((x,y,z)neq(0,0,0))
Logo não é espaço vetorial.

Passo 4

Caso (3): conjunto (x,2x,3x):xinRsubsetR^3 com operações usuais.
É fácil ver que é subespaço de R^3: contém o zero (caso x=0), fechado em soma e escalar. Logo é espaço vetorial.

Passo 5

Caso (4): R^2 com
(a,b)+(c,d)=(acdot b)(um único número!) úú
e alpha(a,b)=(alpha a,alpha b).
A soma não está nem em R^2, falha o axioma (A1) de fechamento sob adição. Não é espaço vetorial.

Passo 6

Caso (5): R^2 com soma usual e alpha(x,y)=(alpha^2x,alpha^2y).
Verifica A1–A5 e SM2, SM3, mas
  • SM1 falha:
    (alpha+beta)(x,y)=((alpha+beta)^2x,(alpha+beta)^2y)neq(alpha^2x+beta^2x,alpha^2y+beta^2y)=alpha(x,y)+beta(x,y) em geral;
  • SM4 falha: 1cdot(x,y)=(1^2x,1^2y)=(x,y) até aqui OK, mas a falha real é SM1.
    Então não é espaço vetorial.

Passo 7

Caso (6): R^2 com soma usual e alpha(x,y)=(alpha x,0).
Quase todos os axiomas batem, mas
1cdot(x,y)=(1cdot x,0)=(x,0)neq(x,y)se (yneq0)
Logo falha SM4, não é espaço vetorial.

Passo 8

Caso (7): A=(x,y)inR^2mid y=5x com operações usuais.
É subespaço de R^2: contém (0,0), fechado em soma e escalar. Portanto é espaço vetorial.

Passo 9

Caso (8):
com operações usuais de matrizes.
Também é subespaço: zero está em , soma e escalar fechadas. Logo é espaço vetorial.

Resposta

(1) espaço vetorial
(2) não – falha SM4 ( 1cdot vneq v)
(3) espaço vetorial
(4) não – falha A1 (fechamento da soma)
(5) não – falha SM1 (distributividade de soma de escalares)
(6) não – falha SM4 (identidade escalar)
(7) espaço vetorial
(8) espaço vetorial

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