(14)
e
(15)
(16)
(17)
e
(18)
(19)
(20)
(21)
e
(22)
(23)
(24)
(25)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Passo 1
O enunciado apresenta vários subconjuntos
definidos por equações ou parametricamente e pede para verificar, em cada caso, se
é subespaço vetorial de
. Se for, devemos dar uma descrição como combinação linear (span) de vetores; se não for, apontar qual das propriedades de subespaço falha (não contém o vetor zero, não fecha em soma ou em multiplicação por escalar).
Passo 2
Lembrando o critério: um subconjunto
de
é subespaço vetorial se, e somente se,
-
; - para quaisquer
, tem-se ; - para qualquer
e escalar , tem-se .
Passo 3
Analisando
:
– O vetor zero satisfaz
e
.
– Se e
estão em
, a soma é
, também em
.
– Para escalar ,
.
Logo é subespaço e toda tupla é
, isto é,
– O vetor zero
– Se
– Para escalar
Logo
Passo 4
Analisando
:
– satisfaz
.
– Soma de e
é
.
– Escalar .
Logo é subespaço e pode ser gerado por
–
– Soma de
– Escalar
Logo é subespaço e pode ser gerado por
isto é,
Passo 5
Analisando
:
– O ponto zero pertence, pois
.
– Entretanto, somar e
dá
, mas
.
Logo não há fechamento em soma e não é subespaço.
– O ponto zero
– Entretanto, somar
Logo não há fechamento em soma e
Passo 6
Analisando
:
– O vetor zero não está em , pois
.
Logo não é subespaço.
– O vetor zero não está em
Logo
Passo 7
Analisando
:
– Contém .
– Soma de e
é
.
– Escalar .
Logo é subespaço unidimensional, gerado por :
– Contém
– Soma de
– Escalar
Logo é subespaço unidimensional, gerado por
Passo 8
Analisando
:
– Contém .
– Soma e escalar preservam a forma .
Logo é subespaço gerado por :
– Contém
– Soma e escalar preservam a forma
Logo é subespaço gerado por
Passo 9
Analisando
:
– e
estão em
mas sua soma
tem
.
Logo não fecha em soma e não é subespaço.
–
Logo não fecha em soma e não é subespaço.
Passo 10
Analisando
:
– Contém .
– Contudo, e
estão em
mas sua soma
exigiria
, o que falha.
Logo não fecha em soma e não é subespaço.
– Contém
– Contudo,
Logo não fecha em soma e não é subespaço.
Passo 11
Analisando
:
– Contém .
– Soma e escalar preservam a forma .
Logo é subespaço gerado por :
– Contém
– Soma e escalar preservam a forma
Logo é subespaço gerado por
Passo 12
Analisando
:
– O vetor zero está, mas se e
estivessem,
falha a condição. Além disso, escalar negativo de
sai de
.
Logo não é subespaço.
– O vetor zero está, mas se
Logo não é subespaço.
Passo 13
Analisando
:
– Contém .
– Soma de dois vetores com soma nula também tem soma nula; idem para escalares.
Logo é subespaço de dimensão 2, gerado por, por exemplo,
– Contém
– Soma de dois vetores com soma nula também tem soma nula; idem para escalares.
Logo é subespaço de dimensão 2, gerado por, por exemplo,
ou seja,
Passo 14
Analisando
:
– Contém .
– Soma e escalar preservam a forma .
Logo é subespaço gerado por :
– Contém
– Soma e escalar preservam a forma
Logo é subespaço gerado por
Resposta
-
é subespaço, . -
é subespaço, . -
não é subespaço (falha em fechamento na soma). -
não é subespaço (não contém ). -
é subespaço, . -
é subespaço, . -
não é subespaço (falha em fechamento na soma). -
não é subespaço (falha em fechamento na soma). -
é subespaço, . -
não é subespaço (falha em fechamento por escalar negativo). -
é subespaço, . -
é subespaço, .