(14) S=(x, y, z) / x=4 y e z=0
(15) S=(x, y, z) / z=2 x-y
(16) S=(x, y, z) / x=z^2
(17) S=(x, y, z) / y=x+2 e z=0
(18) S=(x, x, x) ; x in R
(19) S=(x, x, 0) / x in R
(20) S=(x, y, z) / x y=0
(21) S=(x, y, z) / x=0 e y=|z|
(22) S=(x,-3 x, 4 x) ; x in R
(23) S=(x, y, z) / x >= 0
(24) S=(x, y, z) / x+y+z=0
(25) S=(4 t, 2 t,-t) ; t in R

Passo 1

O enunciado apresenta vários subconjuntos SsubseteqR^3 definidos por equações ou parametricamente e pede para verificar, em cada caso, se S é subespaço vetorial de R^3. Se for, devemos dar uma descrição como combinação linear (span) de vetores; se não for, apontar qual das propriedades de subespaço falha (não contém o vetor zero, não fecha em soma ou em multiplicação por escalar).

Passo 2

Lembrando o critério: um subconjunto S de R^3 é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. 0in S;
  2. para quaisquer u,vin S, tem-se u+vin S;
  3. para qualquer uin S e escalar lambdainR, tem-se lambdauin S.

Passo 3

Analisando S14=(x,y,z)mid x=4y,;z=0:
– O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=4cdot0 e z=0.
– Se (4y1,y1,0) e (4y2,y2,0) estão em S14, a soma é (4(y1+y2),y1+y2,0), também em S14.
– Para escalar lambda, lambda(4y,y,0)=(4(lambda y),lambda y,0)in S14.
Logo S14 é subespaço e toda tupla é (4y,y,0)=y(4,1,0), isto é,
S14=span(4,1,0)

Passo 4

Analisando S15=(x,y,z)mid z=2x-y:
(0,0,0) satisfaz 0=2cdot0-0.
– Soma de (x1,y1,2x1-y1) e (x2,y2,2x2-y2) é (x1+x2,y1+y2,2(x1+x2)-(y1+y2)).
– Escalar lambda(x,y,2x-y)=(lambda x,lambda y,2lambda x-lambda y).
Logo é subespaço e pode ser gerado por
(1,0,2)e(0,1,-1),
isto é,
S15=span(1,0,2),(0,1,-1)

Passo 5

Analisando S16=(x,y,z)mid x=z^2:
– O ponto zero (0,0,0) pertence, pois 0=0^2.
– Entretanto, somar (1,0,1) e (1,0,1) (2,0,2), mas 2neq 2^2=4.
Logo não há fechamento em soma e S16 não é subespaço.

Passo 6

Analisando S17=(x,y,z)mid y=x+2,;z=0:
– O vetor zero não está em S17, pois 0neq0+2.
Logo S17 não é subespaço.

Passo 7

Analisando S18=(x,x,x)mid xinR:
– Contém 0=(0,0,0).
– Soma de (x,x,x) e (y,y,y) é (x+y,x+y,x+y).
– Escalar lambda(x,x,x)=(lambda x,lambda x,lambda x).
Logo é subespaço unidimensional, gerado por (1,1,1):
S18=span(1,1,1)

Passo 8

Analisando S19=(x,x,0)mid xinR:
– Contém 0.
– Soma e escalar preservam a forma (x,x,0).
Logo é subespaço gerado por (1,1,0):
S19=span(1,1,0)

Passo 9

Analisando S20=(x,y,z)mid xy=0:
(1,0,0) e (0,1,0) estão em S20 mas sua soma (1,1,0) tem xy=1neq0.
Logo não fecha em soma e não é subespaço.

Passo 10

Analisando S21=(x,y,z)mid x=0,;y=|z|:
– Contém (0,0,0).
– Contudo, (0,1,1) e (0,1,-1) estão em S21 mas sua soma (0,2,0) exigiria y=|z|=0, o que falha.
Logo não fecha em soma e não é subespaço.

Passo 11

Analisando S22=(x,-3x,4x)mid xinR:
– Contém 0.
– Soma e escalar preservam a forma (x,-3x,4x).
Logo é subespaço gerado por (1,-3,4):
S22=span(1,-3,4)

Passo 12

Analisando S23=(x,y,z)mid x>=0:
– O vetor zero está, mas se (1,0,0) e (-1,0,0) estivessem, (-1,0,0) falha a condição. Além disso, escalar negativo de (1,0,0) sai de S23.
Logo não é subespaço.

Passo 13

Analisando S24=(x,y,z)mid x+y+z=0:
– Contém (0,0,0).
– Soma de dois vetores com soma nula também tem soma nula; idem para escalares.
Logo é subespaço de dimensão 2, gerado por, por exemplo,
(1,0,-1)e(0,1,-1),
ou seja,
S24=span(1,0,-1),(0,1,-1)

Passo 14

Analisando S25=(4t,2t,-t)mid tinR:
– Contém 0.
– Soma e escalar preservam a forma (4t,2t,-t).
Logo é subespaço gerado por (4,2,-1):
S25=span(4,2,-1)

Resposta

  1. S14 é subespaço, S14=span(4,1,0).
  2. S15 é subespaço, S15=span(1,0,2),(0,1,-1).
  3. S16 não é subespaço (falha em fechamento na soma).
  4. S17 não é subespaço (não contém 0).
  5. S18 é subespaço, S18=span(1,1,1).
  6. S19 é subespaço, S19=span(1,1,0).
  7. S20 não é subespaço (falha em fechamento na soma).
  8. S21 não é subespaço (falha em fechamento na soma).
  9. S22 é subespaço, S22=span(1,-3,4).
  10. S23 não é subespaço (falha em fechamento por escalar negativo).
  11. S24 é subespaço, S24=span(1,0,-1),(0,1,-1).
  12. S25 é subespaço, S25=span(4,2,-1).

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