(b) Mostre que as funções
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann; então, faça a substituição
e mostre que as funções resultantes de
e
satisfazem a forma polar das equações de Cauchy-Riemann.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que as funções
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas e, em seguida, fazer a mudança para coordenadas polares
e verificar que as equações de Cauchy-Riemann ficam na sua forma polar. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a definição das equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
em
. Primeiro,
Passo 3
[v=2\operatorname{arctg}(y/x)\implies v_x=2\cdot\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\bigl(-\tfrac{y}{x2}\bigr)=-\frac{2y}{x2+y2},\quad v_y=2\cdot\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2x}{x2+y^2}.,
Passo 4
Agora verificamos as equações de Cauchy-Riemann em cartesianas:
Passo 5
Logo,
e
, ou seja, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Passo 6
Agora fazemos a mudança para coordenadas polares:
Passo 7
Então
Passo 8
Calculamos as derivadas parciais em
:
Passo 9
As equações de Cauchy-Riemann em polares são
Passo 10
Substituindo,
Resposta
Em coordenadas cartesianas as funções satisfazem
e
. Em coordenadas polares temos
,
e as equações
,
ficam satisfeitas.