(b) Mostre que as funções
u=ln (x^2+y^2), v=2 arctg(y / x)
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann; então, faça a substituição x=r cos theta, y=r sen theta e mostre que as funções resultantes de r e theta satisfazem a forma polar das equações de Cauchy-Riemann.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que as funções u=ln(x^2+y^2) e v=2arctg(y/x) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas e, em seguida, fazer a mudança para coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e verificar que as equações de Cauchy-Riemann ficam na sua forma polar. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a definição das equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u e v em (x,y). Primeiro,
ux=partialpartial xln(x^2+y^2)=1x^2+y^2cdot2x=2xx^2+y^2, uy=2yx^2+y^2,

Passo 3

[v=2\operatorname{arctg}(y/x)\implies v_x=2\cdot\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\bigl(-\tfrac{y}{x2}\bigr)=-\frac{2y}{x2+y2},\quad v_y=2\cdot\frac{1}{1+(y/x)2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{2x}{x2+y^2}.,

Passo 4

Agora verificamos as equações de Cauchy-Riemann em cartesianas:
ux=2xx^2+y^2=vy, uy=2yx^2+y^2=-vx

Passo 5

Logo, ux=vy e uy=-vx, ou seja, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Passo 6

Agora fazemos a mudança para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta

Passo 7

Então
u(r,theta)=lnl(r^2r)=2ln r, v(r,theta)=2arctgl(tfracrsinthetarcosthetar)=2theta

Passo 8

Calculamos as derivadas parciais em (r,theta):
ur=2r, utheta=0, vr=0, vtheta=2

Passo 9

As equações de Cauchy-Riemann em polares são
ur=1rvtheta, utheta=-r,vr

Passo 10

Substituindo,
ur=2r, 1rvtheta=1rcdot2=2rcheckmark,
utheta=0, -r vr=-rcdot0=0checkmark

Resposta

Em coordenadas cartesianas as funções satisfazem ux=vy e uy=-vx. Em coordenadas polares temos u=2ln r, v=2theta e as equações ur=tfrac1rvtheta, utheta=-r vr ficam satisfeitas.

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