1. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja w= f(rho), onde rho=(x^2+y^2+z^2)^1 / 2. Mostre que
(partial wpartial x)^2+(partial wpartial y)^2+(partial wpartial z)^2=(d wd rho)^2

Passo 1

A questão pede para mostrar que, para a função composta w(x,y,z)=f(ρ) com ρ=√(x²+y²+z²), a soma dos quadrados das derivadas parciais de w em relação a x,y,z é igual ao quadrado da derivada de w em relação a ρ. O conteúdo principal é a regra de cadeia para funções compostas e o cálculo do gradiente de ρ.

Passo 2

Pela regra de cadeia, ao derivar w=f(ρ(x,y,z)) em relação a cada variável, temos:
partial wpartial x=dfdrhocdotpartialrhopartial x, partial wpartial y=dfdrhocdotpartialrhopartial y, partial wpartial z=dfdrhocdotpartialrhopartial z
Agora, como ρ= x^2+y^2+z^2^{1/2}, suas derivadas parciais são:
partialrhopartial x=xrho, partialrhopartial y=yrho, partialrhopartial z=zrho

Passo 3

Substituindo essas expressões em cada derivada de w e somando os quadrados, dá:
$$\Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial w}{\partial y}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr)^2
=\Bigl(\frac{df}{d\rho}\Bigr)2\frac{x2+y2+z2}{\rho^2}.$$

Passo 4

Observando que x²+y²+z²=ρ², a fração se simplifica e obtemos exatamente
l(partial wpartial xr)^2+l(partial wpartial yr)^2+l(partial wpartial zr)^2 =l(dfdrhor)^2 =l(dwdrhor)^2,
que era o que precisávamos mostrar.

Resposta

(partial wpartial x)^2+(partial wpartial y)^2+(partial wpartial z)^2=(dwdrho)^2

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