- Seja
uma função diferenciável de uma variável e seja
, onde
. Mostre que
Passo 1
A questão pede para mostrar que, para a função composta w(x,y,z)=f(ρ) com ρ=√(x²+y²+z²), a soma dos quadrados das derivadas parciais de w em relação a x,y,z é igual ao quadrado da derivada de w em relação a ρ. O conteúdo principal é a regra de cadeia para funções compostas e o cálculo do gradiente de ρ.
Passo 2
Pela regra de cadeia, ao derivar w=f(ρ(x,y,z)) em relação a cada variável, temos:
Agora, como ρ=
^{1/2}, suas derivadas parciais são:
Passo 3
Substituindo essas expressões em cada derivada de w e somando os quadrados, dá:
$$\Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial w}{\partial y}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial w}{\partial z}\Bigr)^2
=\Bigl(\frac{df}{d\rho}\Bigr)2\frac{x2+y2+z2}{\rho^2}.$$
Passo 4
Observando que x²+y²+z²=ρ², a fração se simplifica e obtemos exatamente
que era o que precisávamos mostrar.