1. Sejam w=r s /(r^2+s^2) ; r=u v, s=u-2 v. Encontre partial w / partial u e partial w / partial v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de w=dfracrsr^2+s^2 em relação a u e v, sabendo que r=uv e s=u-2v. O conteúdo aqui é Regra da Cadeia combinada com Regra do Quociente para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para usar Regra do Quociente, tratamos w(r,s)=dfracND com N=rs e D=r^2+s^2. Calculamos:
partial wpartial r =partialpartial rl(NDr) =s,D - N,2rD^2 =s(r^2+s^2) - 2rcdot r s(r^2+s^2)^2 =s^3 - r^2s(r^2+s^2)^2 =s,l(s^2 - r^2r)(r^2+s^2)^2,
partial wpartial s =r,D - N,2sD^2 =r(r^2+s^2) - 2scdot r s(r^2+s^2)^2 =r^3 - r s^2(r^2+s^2)^2 =r,l(r^2 - s^2r)(r^2+s^2)^2

Passo 3

As derivadas de r e s são fáceis:
partial rpartial u=v, partial rpartial v=u, partial spartial u=1, partial spartial v=-2

Passo 4

Pela Regra da Cadeia:
partial wpartial u =partial wpartial rpartial rpartial u+partial wpartial spartial spartial u = vs(s^2 - r^2)(r^2+s^2)^2+1cdotr(r^2 - s^2)(r^2+s^2)^2,
partial wpartial v =partial wpartial rpartial rpartial v+partial wpartial spartial spartial v = us(s^2 - r^2)(r^2+s^2)^2-2r(r^2 - s^2)(r^2+s^2)^2

Passo 5

Basta agora substituir r=uv e s=u-2v no resultado anterior para expressar em função de u e v.

Resposta

partial wpartial u =v,(u-2v)l((u-2v)^2-(uv)^2r)+uvl((uv)^2-(u-2v)^2r)l((uv)^2+(u-2v)^2r)^2,
partial wpartial v =u,(u-2v)l((u-2v)^2-(uv)^2r)-2,uvl((uv)^2-(u-2v)^2r)l((uv)^2+(u-2v)^2r)^2

Exercícios relacionados