Dê um exemplo de uma função de duas variáveis reais que é contínua, mas não é diferenciável. (Prove matematicamente suas afirmações sobre a continuidade e diferenciabilidade da função apresentada).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício em cálculo que pede para a gente encontrar uma função com duas variáveis reais que seja contínua, mas que não seja diferenciável. Ou seja, queremos uma função onde você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel (continuidade), mas que em algum ponto ela tem um “cantinho” ou “queda”, onde a derivada não existe (não diferenciável). Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar um pouco sobre o que significa uma função ser contínua e diferenciável, e então escolher uma função que atenda a esses critérios.
Passo 2
Vamos escolher a função
. Essa é uma função bem conhecida que representa a distância do ponto
até a origem
no plano.
Passo 3
Primeiro, vamos provar que essa função é contínua em todos os pontos do plano
.
Lembrando, uma função é contínua se, para todo ponto
, o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Vamos calcular o limite:
Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto,
é contínua em todo
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
não é diferenciável no ponto
.
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais nesse ponto e a aproximação linear da função deve se aproximar da função real quando nos aproximamos do ponto.
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
:
Esse limite não existe porque, se
vem de valores positivos, o limite é 1, e se vem de valores negativos, o limite é -1. Como os limites laterais são diferentes,
não existe.
O mesmo vale para
. Portanto, as derivadas parciais não existem em
, o que significa que
não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todo o plano
, mas não é diferenciável no ponto
.