Dê um exemplo de uma função de duas variáveis reais que é contínua, mas não é diferenciável. (Prove matematicamente suas afirmações sobre a continuidade e diferenciabilidade da função apresentada).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício em cálculo que pede para a gente encontrar uma função com duas variáveis reais que seja contínua, mas que não seja diferenciável. Ou seja, queremos uma função onde você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel (continuidade), mas que em algum ponto ela tem um “cantinho” ou “queda”, onde a derivada não existe (não diferenciável). Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar um pouco sobre o que significa uma função ser contínua e diferenciável, e então escolher uma função que atenda a esses critérios.

Passo 2

Vamos escolher a função . Essa é uma função bem conhecida que representa a distância do ponto até a origem no plano.

Passo 3

Primeiro, vamos provar que essa função é contínua em todos os pontos do plano lim(x, y) to (a, b) raizx^2 + y^2 = raiza^2 + b^2 = f(a, b) .
Lembrando, uma função é contínua se, para todo ponto , o limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos calcular o limite:
Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto, é contínua em todo .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 |h|h não é diferenciável no ponto .
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ter derivadas parciais nesse ponto e a aproximação linear da função deve se aproximar da função real quando nos aproximamos do ponto.
Vamos calcular as derivadas parciais de em :
Esse limite não existe porque, se vem de valores positivos, o limite é 1, e se vem de valores negativos, o limite é -1. Como os limites laterais são diferentes, não existe.
O mesmo vale para . Portanto, as derivadas parciais não existem em , o que significa que não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todo o plano , mas não é diferenciável no ponto .

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