(b) Mostre que
lim (x, y) (0,0) x^3 y2 x^6+y^2
não existe, tomando (x, y) (0,0) ao longo da curva y=x^3.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: a questão pede para mostrar que o limite\n\n\n\n\n\n
\n
dois reais não existe, analisando o caminho\n\n\
\
{
y = x^3. O conteúdo é limites em funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de limite por caminhos diferentes.

Passo 2

Substituição ao longo de y=x^3: se y=x^3 então temos
f(x,x^3)=x^3,(x^3)2x^6+(x^3)^2=x^62x^6+x^6=x^63x^6=13
Como isso vale para todo x≠0, o limite nessa curva é 1/3.

Passo 3

Substituição ao longo de y=0: se y=0 então
$$f(x,0)=\frac{x3\cdot0}{2x6+0^2}=0.
$$
Portanto, o limite por esse caminho é 0.

Passo 4

Conclusão: como o limite ao longo de y=x^3 é 1/3 e ao longo de y=0 é 0, valores diferentes, o limite
\n
hat f(x,y) à origem não existe.

Resposta

O limite não existe, pois ao longo de y=x^3 ele é 1/3 e ao longo de y=0 ele é 0, resultando em valores diferentes.

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