Determine a e b de modo que a função f(t)=rr2, & se t <=-1, a t+b, & se -1= 3 seja contínua.

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada $ f(t) $ que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de $ t $. Queremos encontrar os valores de $ a $ e $ b $ para que essa função seja contínua, ou seja, sem “saltos” ou “pulos” no gráfico. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como igualar os limites nas pontas onde a definição da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto onde a função muda de definição em $ t = -1 $. À esquerda de $ -1 $, a função vale 2. À direita, ela é dada por $ a t + b $. Para que a função seja contínua nesse ponto, o valor à esquerda deve ser igual ao valor à direita quando $ t = -1 $.
Então, substituímos $ t = -1 $ na expressão $ a t + b $ e igualamos a 2:
t = -1

Passo 3

Agora, vamos analisar o outro ponto onde a função muda, em $ t = 3 $. À esquerda de 3, a função é $ a t + b $ e à direita, vale -2. Para a continuidade nesse ponto, o valor à esquerda deve ser igual a -2 quando $ t = 3 $.
Substituímos $ t = 3 $ na expressão $ a t + b $ e igualamos a -2:
t = 3

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
- a + b = 2 3a + b = -2
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
(3a + b) - (-a + b) = -2 - 2 3a + b + a - b = -4 4a = -4 a = -1

Passo 5

Com $ a = -1 $, substituímos esse valor na primeira equação para encontrar $ b $:
a = -1

Resposta

Os valores de $ a $ e $ b $ que tornam a função contínua são $ a = -1 $ e $ b = 1 $.

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