1. Se f e g forem funções de duas variáveis tais que f+g e f g sejam ambas contínuas, então ambas as funções, f e g, serão contínuas.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f e g de em tais que e são contínuas, e pede para mostrar que então f e g também são contínuas. O conteúdo envolve continuidade, soma, produto e composição de funções.

Passo 2

Vamos definir duas funções auxiliares, que são mais fáceis de manipular:
$$
S(x,y)=f(x,y)+g(x,y),
$$
que é contínua por hipótese, e
$$
P(x,y)=f(x,y),g(x,y),
$$
que também é contínua por hipótese.

Passo 3

Note que, para cada ponto $(x,y)$, os valores (x,y) e t^2 - S(x,y),t + P(x,y)=0 são as raízes da equação quadrática
$$
t^2 - S(x,y),t + P(x,y)=0.
$$
Pela fórmula de Bhaskara, essas raízes são dadas por
$$
t = \frac{S(x,y) \pm \sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
onde definimos o discriminante
$$
D(x,y)=S(x,y)^2 - 4,P(x,y).
$$

Passo 4

Como S e P são contínuas, a função (x0,y0) é contínua. Agora analisamos dois casos em um ponto fixo $(x_0,y_0)$:
  1. Se (x0,y0), então em uma vizinhança de $(x_0,y_0)$ temos f(x,y)=S(x,y)+raizD(x,y)2, e a raiz quadrada g(x,y)=S(x,y)-raizD(x,y)2 é contínua. Logo cada uma das expressões
$$
f(x,y)=\frac{S(x,y)+\sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
$$
g(x,y)=\frac{S(x,y)-\sqrt{D(x,y)}}{2}
$$
é composição de funções contínuas, logo f e g são contínuas nessa vizinhança.
  1. Se (x0,y0), então e as duas raízes coincidem em . Como S é contínua, segue que f e g são contínuas em $(x_0,y_0)$.

Passo 5

Como em qualquer ponto $(x_0,y_0)$ um desses casos vale e garante continuidade de f e g, concluímos que ambas as funções f e g são contínuas em todo o domínio.

Resposta

Verdadeiro. As funções f e g são contínuas.

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