- Se
e
forem funções de duas variáveis tais que
e
sejam ambas contínuas, então ambas as funções,
e
, serão contínuas.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções f e g de
em
tais que
e
são contínuas, e pede para mostrar que então f e g também são contínuas. O conteúdo envolve continuidade, soma, produto e composição de funções.
Passo 2
Vamos definir duas funções auxiliares, que são mais fáceis de manipular:
$$
S(x,y)=f(x,y)+g(x,y),
$$
S(x,y)=f(x,y)+g(x,y),
$$
que é contínua por hipótese, e
$$
P(x,y)=f(x,y),g(x,y),
$$
P(x,y)=f(x,y),g(x,y),
$$
que também é contínua por hipótese.
Passo 3
Note que, para cada ponto $(x,y)$, os valores
e
são as raízes da equação quadrática
$$
t^2 - S(x,y),t + P(x,y)=0.
$$
t^2 - S(x,y),t + P(x,y)=0.
$$
Pela fórmula de Bhaskara, essas raízes são dadas por
$$
t = \frac{S(x,y) \pm \sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
t = \frac{S(x,y) \pm \sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
onde definimos o discriminante
$$
D(x,y)=S(x,y)^2 - 4,P(x,y).
$$
D(x,y)=S(x,y)^2 - 4,P(x,y).
$$
Passo 4
Como S e P são contínuas, a função
é contínua. Agora analisamos dois casos em um ponto fixo $(x_0,y_0)$:
- Se
, então em uma vizinhança de $(x_0,y_0)$ temos e a raiz quadrada é contínua. Logo cada uma das expressões
$$
f(x,y)=\frac{S(x,y)+\sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
f(x,y)=\frac{S(x,y)+\sqrt{D(x,y)}}{2},
$$
$$
g(x,y)=\frac{S(x,y)-\sqrt{D(x,y)}}{2}
$$
g(x,y)=\frac{S(x,y)-\sqrt{D(x,y)}}{2}
$$
é composição de funções contínuas, logo f e g são contínuas nessa vizinhança.
- Se
, então e as duas raízes coincidem em . Como S é contínua, segue que f e g são contínuas em $(x_0,y_0)$.
Passo 5
Como em qualquer ponto $(x_0,y_0)$ um desses casos vale e garante continuidade de f e g, concluímos que ambas as funções f e g são contínuas em todo o domínio.
Resposta
Verdadeiro. As funções f e g são contínuas.