Se b não está na bola fechada B[a, r], prove que existe s>0 tal que a bola B[a, r] é disjunta da bola B[b, s].

Passo 1

O enunciado dá que b não pertence à bola fechada B[a,r] e pede para provar que existe s>0 tal que a bola aberta B[b,s] é disjunta de B[a,r].
Informações relevantes fornecidas:
B[a,r]=\{x\mid d(x,a)\le r\},
b\notin B[a,r] (ou seja, d(a,b) é maior que r).
O que devemos obter: encontrar s>0 tal que
B[a,r]\cap B[b,s]=\varnothing.

Passo 2

Vou lembrar e usar uma propriedade fundamental da métrica (triângulo): para quaisquer pontos x,y,z vale
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Dessa desigualdade posso obter uma desigualdade para d(x,b) em função de d(a,b) e d(a,x). Isso vai ser a base do argumento.

Passo 3

Como b\notin B[a,r], temos, por definição de bola fechada,
d(a,b)>r.
Defina a quantidade
s:=d(a,b)-r.
Como d(a,b)>r, segue que s>0. Então já temos um candidato natural para s.

Passo 4

Agora mostro que esse s funciona. Seja x\in B[a,r]. Então, por definição de bola fechada,
d(a,x)\le r.
Aplicando a desigualdade triangular na forma
d(a,b)\le d(a,x)+d(x,b),
e isolando d(x,b), obtemos
d(x,b)\ge d(a,b)-d(a,x).
Usando d(a,x)\le r segue
d(x,b)\ge d(a,b)-r = s.

Passo 5

A desigualdade d(x,b)\ge s significa que nenhum x\in B[a,r] satisfaz d(x,b)<s. Mas a condição para um ponto pertencer à bola aberta B[b,s] é exatamente d(x,b)<s. Portanto não existe x que esteja simultaneamente em B[a,r] e em B[b,s]. Logo
B[a,r]\cap B[b,s]=\varnothing.

Resposta

Existe s=d(a,b)-r>0 tal que B[a,r]\cap B[b,s]=\varnothing.

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