Se
não está na bola fechada
, prove que existe
tal que a bola
é disjunta da bola
.
Passo 1
O enunciado dá que
não pertence à bola fechada
e pede para provar que existe
tal que a bola aberta
é disjunta de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que devemos obter: encontrar
Passo 2
Vou lembrar e usar uma propriedade fundamental da métrica (triângulo): para quaisquer pontos
vale
Dessa desigualdade posso obter uma desigualdade para
em função de
e
. Isso vai ser a base do argumento.
Passo 3
Como
, temos, por definição de bola fechada,
Defina a quantidade
Como
, segue que
. Então já temos um candidato natural para
.
Passo 4
Agora mostro que esse
funciona. Seja
. Então, por definição de bola fechada,
Aplicando a desigualdade triangular na forma
e isolando
, obtemos
Usando
segue
Passo 5
A desigualdade
significa que nenhum
satisfaz
. Mas a condição para um ponto pertencer à bola aberta
é exatamente
. Portanto não existe
que esteja simultaneamente em
e em
. Logo
Resposta
Existe
tal que
.