Seja X um espaço topológico. Prove que para todo subconjunto S \subset X, tem-se S=S \cup S^{\prime}.
Passo 1
O enunciado dá um espaço topológico X e um subconjunto S \subset X. A tarefa é provar a igualdade entre a fecho de S e a união de S com o seu conjunto de pontos de acumulação. Vou reescrever claramente o que se pede (assumindo a notação usual):
\text{Provar: }\overline{S}=S\cup S',
onde:
\overline{S} significa a fecho de S (o menor conjunto fechado de X que contém S);
S' significa o conjunto de pontos de acumulação (ou pontos-limite) de S, isto é, pontos x\in X tais que toda vizinhança de x contém um ponto de S distinto de x.
Informações relevantes dadas: X é um espaço topológico qualquer e S\subset X é um subconjunto arbitrário. O objetivo é mostrar a igualdade entre dois conjuntos. A resolução começará mostrando as duas inclusões necessárias.
Passo 2
Explicando as definições com calma (pra você se acalmar e entender direitinho):
Definição de fecho: \overline{S} é o conjunto de todos os pontos x\in X tais que toda vizinhança aberta de x intercepta S. Outra maneira: x\in\overline{S} se e somente se toda vizinhança de x contém algum ponto de S.
Definição de ponto de acumulação: x\in S' se toda vizinhança aberta de x contém um ponto de S diferente de x. Ou seja, os pontos de S “se aproximam” de x sem precisar ser x (podem ser outros pontos arbitrariamente perto).
Observação útil: se x\in S então qualquer vizinhança de x contém x, logo contém um ponto de S — por isso S\subset\overline{S}. Mas nem todo ponto de \overline{S} precisa estar em S; pode ser um ponto-limite.
Passo 3
Primeira inclusão: mostrar \overline{S}\subset S\cup S'.
Seja x\in\overline{S}. Temos dois casos:
Se x\in S, então x\in S\cup S' imediatamente.
Se x\notin S, então usando a caracterização da fecho: toda vizinhança de x intersecta S. Como x\notin S, essa interseção fornece sempre um ponto de S diferente de x. Isso é exatamente a definição de ponto de acumulação, logo x\in S'. Portanto x\in S\cup S'.
Como x\in\overline{S} era arbitrário, concluímos \overline{S}\subset S\cup S'.
Passo 4
Segunda inclusão: mostrar S\cup S'\subset\overline{S}.
Tomemos x\in S\cup S'. Novamente há dois subcasos:
Se x\in S, então qualquer vizinhança de x contém x\in S, portanto a vizinhança intercepta S. Isso mostra x\in\overline{S}.
Se x\in S', pela definição de ponto de acumulação toda vizinhança de x contém algum ponto de S (parcialmente exigido que seja diferente de x, mas isto não importa aqui). Assim toda vizinhança de x intersecta S, o que significa x\in\overline{S}.
Como ambos os subcasos implicam x\in\overline{S}, segue S\cup S'\subset\overline{S}.
Passo 5
Unindo as duas inclusões das Passos 3 e 4, obtemos:
Intuição final (pra fixar): o fecho de S é formado pelos pontos que já estão em S mais aqueles pontos onde S “se acumula” — exatamente a união S com seus pontos-limite S'. Dá pra imaginar S como um conjunto de pontos e \overline{S} como esse conjunto mais os pontos de “fecho” onde as sequências de S podem convergir.