Calcule o interior, o fecho, a fronteira, ponto isolado e o conjunto derivado de cada um dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R} : Z=\left\{n^{2}+1: n \in \mathbb{N}\right\}
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto Z\subset\mathbb{R} definido por
Z=\{n^{2}+1: n\in\mathbb{N}\}.
As perguntas explícitas são: calcular \,\operatorname{int}(Z) (interior de Z), \,\overline{Z} (fecho de Z), \,\partial Z (fronteira de Z),
o conjunto de pontos isolados de Z,
e o conjunto derivado Z' (conjunto de pontos de acumulação de Z).
Informações relevantes fornecidas: Z é formado pelos números da forma n^{2}+1 com n variando em \mathbb{N} (portanto é uma sequência discreta e infinita de pontos reais).
Passo 2
Vou lembrar (de forma bem didática) o que cada conceito significa, porque isso vai aparecer sempre que você enfrentar questões assim na prova.
Interior: x\in\operatorname{int}(Z) significa que existe um intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) totalmente contido em Z. Em palavras: um ponto é interior se consigo enfiar um “pedaço de reta” ao redor dele sem sair de Z.
Fecho: \overline{Z} é o menor conjunto fechado que contém Z. Equivalente: é a união de Z com todos os seus pontos de acumulação. Outra caracterização prática: y\in\overline{Z} se e somente se todo intervalo aberto centrado em y intercepta Z.
Fronteira: \partial Z=\overline{Z}\setminus\operatorname{int}(Z). Ou seja, pontos que estão no fecho, mas não são pontos interiores.
Ponto isolado: x\in Z é isolado se existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap Z=\{x\}. Em palavras: consigo um intervalo ao redor de x que contém nenhum outro ponto de Z.
Conjunto derivado Z': é o conjunto de pontos de acumulação de Z; y\in Z' se todo intervalo centrado em y contém algum ponto de Z diferente de y. Em outras palavras: há pontos de Z arbitrariamente próximos de y (tipicamente isso exige uma infinidade deles próximos).
Vou aplicar essas definições ao conjunto Z.
Passo 3
Vamos observar a forma concreta de Z. Os primeiros termos (supondo \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}) são
2,\,5,\,10,\,17,\,26,\dots
em geral o n-ésimo termo é z_{n}=n^{2}+1.
Note uma propriedade útil: as diferenças entre termos consecutivos crescem com n. De fato,
z_{n+1}-z_{n}=(n+1)^{2}+1-(n^{2}+1)=2n+1.
Para n\ge 1 temos 2n+1\ge 3, e a diferença ao se aproximar para a esquerda (entre z_n e z_{n-1}) é
z_{n}-z_{n-1}=2n-1\quad(\text{para }n\ge2).
Essas diferenças são sempre números positivos (e crescentes), então os pontos de Z estão bem separados na reta.
Passo 4
Provar que cada ponto de Z é isolado (passo importante e construtivo).
Seja z_n=n^{2}+1\in Z com n\ge 1. A distância ao vizinho à esquerda (se existir) é 2n-1 e ao vizinho à direita é 2n+1. Portanto a menor distância a qualquer outro ponto de Z é pelo menos
com a observação que para n=1 não há vizinho à esquerda, mas a diferença para o próximo é 3, então a fórmula funciona interpretando mínimos sobre os vizinhos existentes. Agora tome
\varepsilon_n=\frac{d_n}{2}=\frac{2n-1}{2}>0.
Então o intervalo aberto (z_n-\varepsilon_n,z_n+\varepsilon_n) não contém nenhum outro ponto de Z, porque qualquer outro ponto de Z fica a distância no mínimo d_n de z_n. Logo
Conclusão desta etapa: todos os pontos de Z são pontos isolados.
Observação intuitiva: cada z_n tem um “bolsão” ao seu redor livre dos demais pontos de Z; os z_n não se acumulam entre si.
Passo 5
Determinar o conjunto derivado Z' (pontos de acumulação).
Por definição, y\in Z' se todo intervalo centrado em y contém algum ponto de Z diferente de y. Mas como vimos, cada z_n\in Z possui um intervalo ao redor que contém nenhum outro ponto de Z. Portanto nenhum z_n é ponto de acumulação. Resta ver se existe algum y\notin Z que seja ponto de acumulação.
Se y\notin Z, considere a distância
d(y,Z)=\inf_{z\in Z}|y-z|.
Como n^{2}+1\to+\infty quando n\to\infty, para um dado y só existem finitos z_n na vizinhança de y; explicitamente, existe N tal que para n\ge N temos z_n> |y|+1, então apenas os z_n com n< N podem ficar próximos de y. Assim a infimum é, na verdade, um mínimo entre um número finito de distâncias positivas, e portanto d(y,Z)>0. Tomando \varepsilon=\frac{d(y,Z)}{2}>0 obtemos um intervalo (y-\varepsilon,y+\varepsilon) que não contém nenhum ponto de Z. Isso mostra que y\notin\overline{Z}, logo y\notin Z'.
Portanto não existe nenhum ponto (nem em Z, nem fora) que seja ponto de acumulação. Conclusão:
Z'=\varnothing.
Passo 6
Calcular o fecho \overline{Z}.
Todo ponto z\in Z está no fecho porque qualquer intervalo centrado em z intersecta Z (pelo menos contém z mesmo).
Pelo Passo 5, não há pontos fora de Z que pertençam ao fecho, porque para y\notin Z encontramos um pequeno intervalo que evita Z.
Logo
\overline{Z}=Z.
Passo 7
Calcular o interior \operatorname{int}(Z) e a fronteira \partial Z.
Interior: para existir x\in\operatorname{int}(Z) precisaríamos de um intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset Z. Mas qualquer intervalo aberto contém infinitos (na verdade, não contáveis) reais; já Z é um conjunto enumerável e formado por pontos separados. Mais diretamente: se (x-\varepsilon,x+\varepsilon) estivesse contido em Z, então isso contradiz o fato de que entre x e qualquer outro real há infinitos pontos reais que não são da forma n^{2}+1. Portanto não existe tal intervalo; assim
\operatorname{int}(Z)=\varnothing.
Fronteira: por definição \partial Z=\overline{Z}\setminus\operatorname{int}(Z). Usando os resultados anteriores,
\partial Z=Z\setminus\varnothing=Z.
Passo 8
Concluir o conjunto de pontos isolados e revisar todas as peças juntas.
Conjunto de pontos isolados de Z: como mostramos no Passo 4, todo z_n\in Z é isolado, então o conjunto dos pontos isolados é Z inteiro.
Conjunto derivado: já concluímos Z'=\varnothing.
Agora organizo as respostas finais de maneira direta e limpa.
Resposta
\operatorname{int}(Z)=\varnothing \overline{Z}=Z \partial Z=Z
conjunto de pontos isolados de Z=Z Z'=\varnothing