Num espaço métrico M, seja b \in B(a, r). Prove que existe uma bola aberta de centro b contida em B(a, r).

Passo 1

O enunciado dá um espaço métrico M, um ponto a\in M, um raio r>0 e um ponto b que pertence à bola aberta B(a,r). Pergunta: mostrar que existe uma bola aberta com centro em b que esteja inteiramente contida em B(a,r). Informações relevantes fornecidas:
  • b\in B(a,r), isto é, d(a,b)<r.
  • Queremos encontrar um \varepsilon>0 tal que B(b,\varepsilon)\subset B(a,r).

Passo 2

Recordando definições e propriedades que vamos usar (devagar e sem pressa):
  • Uma métrica d em M satisfaz, entre outras, a desigualdade triangular: para quaisquer x,y,z\in M,
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
  • A bola aberta de centro p e raio \rho>0 é
B(p,\rho)=\{x\in M:\\ d(x,p)<\rho\}.
Nossa estratégia (intuição): como b está dentro de B(a,r), há uma “distância sobrando” até a fronteira da bola B(a,r). Vamos usar essa sobra como raio de uma bola centrada em b.

Passo 3

Definimos explicitamente a sobra de raio:
\varepsilon := r - d(a,b).
Aqui usei que d(a,b)<r, então \varepsilon>0. Expliquei: \varepsilon é exatamente a distância que falta para chegar ao limite r a partir de d(a,b).

Passo 4

Agora tomo um ponto arbitrário x\in B(b,\varepsilon). Pela definição de bola isso significa
d(b,x)<\varepsilon.
Aplicando a desigualdade triangular com os pontos a,b,x, obtemos
d(a,x)\le d(a,b)+d(b,x).
Como d(b,x)<\varepsilon e \varepsilon=r-d(a,b), substituindo temos
d(a,x) < d(a,b)+\varepsilon = d(a,b)+\bigl(r-d(a,b)\bigr)=r.
Portanto d(a,x)<r, o que diz que x\in B(a,r).

Passo 5

A argumentação do passo anterior vale para qualquer x\in B(b,\varepsilon). Logo todo ponto de B(b,\varepsilon) pertence a B(a,r). Concluímos que
B(b,\varepsilon)\subset B(a,r).
Isto mostra que para o \varepsilon escolhido a bola centrada em b fica inteiramente dentro de B(a,r). Observação final: a escolha natural de \varepsilon foi a “distância até a fronteira” r-d(a,b).

Resposta

\varepsilon=r-d(a,b)>0 e B(b,\varepsilon)\subset B(a,r).

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