Num espaço métrico
, seja
. Prove que existe uma bola aberta de centro
contida em
.
Passo 1
O enunciado dá um espaço métrico
, um ponto
, um raio
e um ponto
que pertence à bola aberta
. Pergunta: mostrar que existe uma bola aberta com centro em
que esteja inteiramente contida em
. Informações relevantes fornecidas:
-
, isto é, . - Queremos encontrar um
tal que .
Passo 2
Recordando definições e propriedades que vamos usar (devagar e sem pressa):
- Uma métrica
em satisfaz, entre outras, a desigualdade triangular: para quaisquer ,
- A bola aberta de centro
e raio é
Nossa estratégia (intuição): como
está dentro de
, há uma “distância sobrando” até a fronteira da bola
. Vamos usar essa sobra como raio de uma bola centrada em
.
Passo 3
Definimos explicitamente a sobra de raio:
Aqui usei que
, então
. Expliquei:
é exatamente a distância que falta para chegar ao limite
a partir de
.
Passo 4
Agora tomo um ponto arbitrário
. Pela definição de bola isso significa
Aplicando a desigualdade triangular com os pontos
, obtemos
Como
e
, substituindo temos
Portanto
, o que diz que
.
Passo 5
A argumentação do passo anterior vale para qualquer
. Logo todo ponto de
pertence a
. Concluímos que
Isto mostra que para o
escolhido a bola centrada em
fica inteiramente dentro de
. Observação final: a escolha natural de
foi a “distância até a fronteira”
.