b. $(1,5 ponto) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa 0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ h(x) = (x - 1) \sin(x) - 2 $ no ponto onde a abscissa (o valor de $ x $) é 0. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto no gráfico da função quando $ x = 0 $. Isso significa que a gente vai calcular $ h(0) $.
A função é:
Substituindo $ x $ por 0:
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $, então:
Então, o ponto é $ (0, -2) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função $ h(x) $ avaliada em $ x = 0 $.
Vamos calcular $ h’(x) $. A função é:
A derivada de $ h(x) $ em relação a $ x $ é:
A derivada de uma constante é zero, então:
Para derivar $ (x - 1) \sin(x) $, usamos a regra do produto:
Onde $ u = x - 1 $ e $ v = \sin(x) $.
Calculando as derivadas:
Então:
Agora, avaliaremos $ h’(0) $:
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
A inclinação da reta tangente é $ -1 $.
Passo 4
Com a inclinação da reta $ m = -1 $ e o ponto $ (0, -2) $, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde $ (x_0, y_0) $ é o ponto e $ m $ é a inclinação.
Substituindo os valores:
Isolando $ y $:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ h(x) = (x - 1) \sin(x) - 2 $ no ponto com abscissa 0 é: