Determine f^(7)(0) para cada uma das funções do exercício 10) usando somente os coeficientes da séries lá determinadas.
f(x)=(1-x^2)^-1

Passo 1

O enunciado pede o valor da sétima derivada em zero de f(x)=(1 - x^2)^-1, usando apenas os coeficientes da série de Maclaurin já determinada. O conteúdo é série de potências (série geométrica) e vamos precisar da relação entre coeficientes da série e derivadas em zero.

Passo 2

Para expandir f(x)=(1 - x^2)^-1 como série de potências, usamos a série geométrica 1/(1 - t)=sumn=0^infty t^n com t = x^2. Assim,
f(x)=sumn=0^inftyx^2n=1 + x^2 + x^4 + x^6 + cdots

Passo 3

Dessa expansão vemos que o coeficiente ak na série de Maclaurin f(x)=sumk=0^infty ak x^k é igual a 1 quando k é par ( k=2n) e 0 quando k é ímpar.

Passo 4

Na teoria de séries de potências, a relação entre derivadas em zero e coeficientes é
f^(k)(0)=k!,ak

Passo 5

Para k=7, como 7 é ímpar, o coeficiente a7=0. Logo
f^(7)(0)=7!cdot 0=0

Resposta

0

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