Exercício 1 (Regra da Cadeia - 2 Variáveis) Seja z=f(x, y), onde x=g(t) e y=h(t), com f(x, y)=x^2+y^3, g(t)=t^2 e h(t)=e^t. Determine d zd t usando a regra da cadeia.

Passo 1

O exercício pede para encontrar dz/dt quando z=f(x,y)=x^2+y^3, com x=g(t)=t^2 e y=h(t)=e^t. O conteúdo é a regra da cadeia em funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais de f e derivadas de g e h em relação a t.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis, que diz:
dzdt = partial fpartial x,dxdt + partial fpartial y,dydt

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^3:
partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 3y^2.
Derivamos x=g(t)=t^2 e y=h(t)=e^t em relação a t:
dxdt = 2t e dydt = e^t.

Passo 4

Substituímos na regra da cadeia:
dzdt = (2x),(2t) + (3y^2),(e^t)
Finalmente, usamos x=t^2 e y=e^t para obter:
dzdt = 2(t^2)cdot(2t) + 3(e^t)^2cdot e^t = 4t^3 + 3e^3t

Resposta

dz/dt = 4t^3 + 3e^3t

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