Exercício 2 (Regra da Cadeia - 3 Variáveis) Seja w=f(x, y, z), onde x=g(u, v), y=h(u, v) e z=k(u, v), com f(x, y, z)=x^2 y+z^2, g(u, v)=u^2+v, h(u, v)=u v e k(u, v)=u+v^2. Determine partial wpartial u e partial wpartial v usando a regra da cadeia.

Passo 1

Neste exercício vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A função composta é dada por w=f(x,y,z) onde f(x,y,z)=x^2y+z^2 e as variáveis x,y,z dependem de (u,v) via x=g(u,v)=u^2+v, y=h(u,v)=uv e z=k(u,v)=u+v^2. Precisamos encontrar partial w/partial u e partial w/partial v. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x,y,z e as derivadas de x,y,z em relação a u,v, e então usar a regra da cadeia.

Passo 2

Iniciando pelas derivadas parciais de f:

Passo 3

fx=partialpartial x(x^2y+z^2)=2xy

Passo 4

fy=partialpartial y(x^2y+z^2)=x^2

Passo 5

fz=partialpartial z(x^2y+z^2)=2z

Passo 6

Agora as derivadas das funções intermediárias em relação a u e v:

Passo 7

partial xpartial u=2u, partial xpartial v=1

Passo 8

partial ypartial u=v, partial ypartial v=u

Passo 9

partial zpartial u=1, partial zpartial v=2v

Passo 10

Aplicando a regra da cadeia para partial w/partial u:

Passo 11

partial wpartial u=fxpartial xpartial u+fypartial ypartial u+fzpartial zpartial u

Passo 12

partial wpartial u=2xycdot2u+x^2cdot v+2zcdot1=4u xy+x^2v+2z

Passo 13

partial wpartial u=4u(u^2+v)(uv)+(u^2+v)^2v+2(u+v^2)

Passo 14

Aplicando a regra da cadeia para partial w/partial v:

Passo 15

partial wpartial v=fxpartial xpartial v+fypartial ypartial v+fzpartial zpartial v

Passo 16

partial wpartial v=2xycdot1+x^2cdot u+2zcdot2v=2xy+x^2u+4zv

Passo 17

partial wpartial v=2(u^2+v)(uv)+(u^2+v)^2u+4v(u+v^2)

Resposta

partial wpartial u=4u(u^2+v)(uv)+(u^2+v)^2v+2(u+v^2), partial wpartial v=2(u^2+v)(uv)+(u^2+v)^2u+4v(u+v^2)

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