b) Resolva a equação exata e obtenha a solução (implicita):
(2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial exata (2x-1),dx + (3y+7),dy = 0. O conteúdo é equações exatas, e vamos precisar encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que dPhi = (2x-1),dx + (3y+7),dy.

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo se partial M/partial y = partial N/partial x, onde M(x,y)=2x-1 e N(x,y)=3y+7. Calculamos
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 0,
logo a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar Phi(x,y), integramos M(x,y) em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2x-1),dx = x^2 - x + h(y),onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora usamos partial Phi/partial y = N(x,y), ou seja,
partial Phipartial y = h'(y) = 3y + 7
Integramos em relação a y:
h(y) = integral (3y+7),dy = 32y^2 + 7y + C1

Passo 5

Assim a função potencial fica
Phi(x,y) = x^2 - x + 32y^2 + 7y + C1

Resposta

A solução implícita é
x^2 - x + 32y^2 + 7y = C onde C é constante de integração.

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