Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações: a 0=0, para qualquer número real a.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, no conjunto dos números reais, multiplicar qualquer número real a por zero resulta em zero. Vamos usar os axiomas de corpo: definição de zero como elemento neutro aditivo, propriedade distributiva e inverso aditivo.

Passo 2

Sabemos que o zero é o elemento neutro da adição, logo 0 + 0 = 0.
Aplicando a propriedade distributiva de multiplicação sobre adição, temos:
a cdot (0 + 0) = a cdot 0 + a cdot 0
Como 0 + 0 = 0, o lado esquerdo fica a cdot 0. Assim, obtemos:
a cdot 0 = a cdot 0 + a cdot 0

Passo 3

Agora usamos o inverso aditivo de a cdot 0. Somando -(a cdot 0) em ambos os lados da igualdade, no lado esquerdo temos
a cdot 0 + (-a cdot 0) = 0
e no lado direito
(a cdot 0 + a cdot 0) + (-a cdot 0) = a cdot 0 + (a cdot 0 + -a cdot 0) = a cdot 0 + 0 = a cdot 0
Daí concluímos que
0 = a cdot 0

Resposta

Portanto, para todo número real a, vale a cdot 0 = 0.

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