Determine x para que a série seja convergente. ( Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=1^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!,

Passo 1

Vamos recapitular: a série em questão é
sumn=1^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
O conteúdo é série de potências em x e vamos usar o critério da razão para achar o conjunto de convergência.

Passo 2

Para aplicar o critério da razão, definimos o termo geral
an = (-1)^nx^2n+1(2n+1)!
Então calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty|x|^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!|x|^2n+1/(2n+1)!
e simplificamos:

Passo 3

Primeiro juntamos as potências de |x| e as fatoriais
|x|^2n+3(2n+3)!cdot(2n+1)!|x|^2n+1 = |x|^2(2n+3)(2n+2)
Agora fazemos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty |x|^2(2n+3)(2n+2) = 0
Esse limite é menor que 1 para qualquer x.

Passo 4

Pelo critério da razão, se L<1 a série converge absolutamente. Como aqui L=0<1 independe de x, a série converge para todos os valores de x reais.

Resposta

A série converge para todo xinR.

Exercícios relacionados