Obter as soluçőes explicitas das equaçōes, por separação de variáveis:
y^prime=y^3 / x^2, y>0 e x>0.

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução explícita da equação diferencial y' = y^3x^2 para x>0 e y>0. O conteúdo é separação de variáveis, e vamos precisar separar y e x em lados distintos e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo e isolando as partes em y' = mrd ymrd x e em y:
Divida ambos os lados por x e multiplique por :

Passo 3

Integre ambos os lados. Use e :
integral y^-3mrd y = y^-2-2

Passo 4

Reorganize a constante e resolva para y. Multiplicando por -2) e definindo C'= -2C, obtemos:
1y^2 = 2x + C'
Invertendo e tomando raiz positiva (pois y>0):
y^2 = 1C' + tfrac2x = xC' x + 2
y(x) = raizxC' x + 2

Resposta

A solução geral (positiva) é
y(x)=raizdfracxC,x+2, com C constante arbitrária.

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