Resolva o problema de valor inicial e dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
sen x d yd x+(cos x) y=0, y(7 pi6)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear e precisa achar a solução que passa pelo ponto dado. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de equações diferenciais para isso. Basicamente, vamos precisar aplicar o método do fator integrante para resolver a equação e depois usar a condição inicial para encontrar a constante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A equação que temos é:
sin(x) dydx + cos(x) y = 0
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por sin(x) (desde que sin(x) neq 0):
dydx + cos(x)sin(x) y = 0
Agora, a equação está na forma padrão:
dydx + P(x) y = 0
onde P(x) = cos(x)sin(x) = cot(x).

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação linear. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral cot(x) dx
Sabemos que integral cot(x) dx = ln|sin(x)|, então:
mu(x) = e^ln|sin(x)| = |sin(x)|
Como estamos trabalhando em um intervalo onde sin(x) não é zero, podemos simplificar para:
mu(x) = sin(x)

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante mu(x):
sin(x) cdot dydx + sin(x) cdot cot(x) y = 0 cdot sin(x)
Simplificando:
sin(x) dydx + cos(x) y = 0
Mas isso nos leva de volta à equação original, o que indica que já aplicamos o fator integrante corretamente. Na verdade, a forma simplificada nos permite escrever a equação diferencial como a derivada do produto mu(x) y:
ddx [sin(x) y] = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
integral ddx [sin(x) y] dx = integral 0 , dx
Isso nos dá:
sin(x) y = C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para y:
y = Csin(x)
Para encontrar o valor de C, usamos a condição inicial fornecida: y(7pi6) = -2.
Substituindo:
-2 = Csin(7pi6)
Calculando sin(7pi6):
sin(7pi6) = -12
Então:
-2 = C-12 implies -2 = -2C implies C = 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 1sin(x)
E o maior intervalo I onde a solução está definida é:
I = (pi, 2pi)
Isso porque, nesse intervalo, sin(x) não é zero, garantindo que a solução está bem definida.

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