Resolva o problema de valor inicial e dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear e precisa achar a solução que passa pelo ponto dado. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de equações diferenciais para isso. Basicamente, vamos precisar aplicar o método do fator integrante para resolver a equação e depois usar a condição inicial para encontrar a constante da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por
(desde que
):
Agora, a equação está na forma padrão:
onde
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação linear. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Como estamos trabalhando em um intervalo onde
não é zero, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Mas isso nos leva de volta à equação original, o que indica que já aplicamos o fator integrante corretamente. Na verdade, a forma simplificada nos permite escrever a equação diferencial como a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial fornecida:
.
Substituindo:
Calculando
:
Então:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
E o maior intervalo
onde a solução está definida é:
Isso porque, nesse intervalo,
não é zero, garantindo que a solução está bem definida.