Determine a validade de uma aproximação de resposta ao degrau unitário de segunda ordem para a função de transferência apresentada a seguir. Caso seja possível, obtenha a ultrapassagem percentual, o tempo de acomodação e o instante de pico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de transferência de um sistema que provavelmente pertence à área de Controle de Sistemas. O objetivo aqui é verificar se conseguimos aproximar a resposta ao degrau unitário desse sistema usando um modelo de segunda ordem. Se isso der certo, vamos calcular três coisas importantes: a ultrapassagem percentual, o tempo de acomodação e o instante de pico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem e como aplicar isso à função de transferência que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função de transferência que você forneceu:
Essa é uma função de transferência que tem um polinômio de segunda ordem no denominador multiplicado por um termo de primeira ordem. Para simplificar a análise, queremos ver se podemos ignorar o termo
e considerar apenas o polinômio de segunda ordem:
Isso nos permite tratar o sistema como se fosse de segunda ordem pura.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa aproximação é válida. Para sistemas de segunda ordem, a resposta ao degrau unitário é bem conhecida e possui parâmetros como a frequência natural
e o coeficiente de amortecimento
. Podemos comparar esses parâmetros com os da nossa função de transferência simplificada.
A forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem é:
Comparando com nossa
:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento
:
Esse valor de
nos indica um sistema subamortecido, o que significa que haverá uma ultrapassagem na resposta ao degrau.
Passo 5
Com
e
, podemos calcular a ultrapassagem percentual (
) usando a fórmula:
Substituindo
:
Vamos calcular o valor:
Passo 6
O próximo passo é calcular o tempo de acomodação (
), que é o tempo que o sistema leva para ficar dentro de uma certa margem (%) em torno do valor de regime permanente. Geralmente, usamos 2% como margem padrão:
Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o instante de pico (
), que é o tempo em que ocorre a primeira ultrapassagem máxima:
Substituindo os valores:
Resposta
A aproximação de segunda ordem é válida para o sistema analisado. As características calculadas são:
- Ultrapassagem Percentual: aproximadamente 45,4%
- Tempo de Acomodação: aproximadamente 9,51 segundos
- Instante de Pico: aproximadamente 1,89 segundos