Determine a validade de uma aproximação de resposta ao degrau unitário de segunda ordem para a função de transferência apresentada a seguir. Caso seja possível, obtenha a ultrapassagem percentual, o tempo de acomodação e o instante de pico.
G(s)=C(s)R(s)=14,65(s^2+0,842 s+2,93)(s+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de transferência de um sistema que provavelmente pertence à área de Controle de Sistemas. O objetivo aqui é verificar se conseguimos aproximar a resposta ao degrau unitário desse sistema usando um modelo de segunda ordem. Se isso der certo, vamos calcular três coisas importantes: a ultrapassagem percentual, o tempo de acomodação e o instante de pico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem e como aplicar isso à função de transferência que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função de transferência que você forneceu:
G(s) = 14,65(s^2 + 0,842,s + 2,93)(s + 5)
Essa é uma função de transferência que tem um polinômio de segunda ordem no denominador multiplicado por um termo de primeira ordem. Para simplificar a análise, queremos ver se podemos ignorar o termo (s + 5) e considerar apenas o polinômio de segunda ordem:
G2(s) = 14,65s^2 + 0,842,s + 2,93
Isso nos permite tratar o sistema como se fosse de segunda ordem pura.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa aproximação é válida. Para sistemas de segunda ordem, a resposta ao degrau unitário é bem conhecida e possui parâmetros como a frequência natural omegan e o coeficiente de amortecimento zeta. Podemos comparar esses parâmetros com os da nossa função de transferência simplificada.
A forma padrão de uma função de transferência de segunda ordem é:
G(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Comparando com nossa G2(s):
s^2 + 0,842,s + 2,93 = s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Isso nos dá:
2zetaomegan = 0,842
omegan^2 = 2,93 implies omegan = raiz2,93 approx 1,713 , rad/s

Passo 4

Agora que temos omegan, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento zeta:
2zetaomegan = 0,842 implies zeta = 0,8422 times 1,713 approx 0,246
Esse valor de zeta nos indica um sistema subamortecido, o que significa que haverá uma ultrapassagem na resposta ao degrau.

Passo 5

Com zeta e omegan, podemos calcular a ultrapassagem percentual ( %OS) usando a fórmula:
%OS = e^(-zetapiraiz1-zeta^2) times 100%
Substituindo zeta = 0,246:
%OS = e^(-0,246 times piraiz1 - (0,246)^2) times 100%
Vamos calcular o valor:
%OS approx e^(-0,246 times 3,1416raiz1 - 0,0605) times 100% approx e^-0,797 times 100% approx 45,4%

Passo 6

O próximo passo é calcular o tempo de acomodação ( Ts), que é o tempo que o sistema leva para ficar dentro de uma certa margem (%) em torno do valor de regime permanente. Geralmente, usamos 2% como margem padrão:
Ts = 4zetaomegan
Substituindo os valores:
Ts = 40,246 times 1,713 approx 40,421 approx 9,51 , segundos

Passo 7

Por fim, vamos calcular o instante de pico ( tp), que é o tempo em que ocorre a primeira ultrapassagem máxima:
tp = piomegan raiz1 - zeta^2
Substituindo os valores:
tp = 3,14161,713 times raiz1 - (0,246)^2 approx 3,14161,713 times 0,969 approx 3,14161,657 approx 1,89 , segundos

Resposta

A aproximação de segunda ordem é válida para o sistema analisado. As características calculadas são:
  • Ultrapassagem Percentual: aproximadamente 45,4%
  • Tempo de Acomodação: aproximadamente 9,51 segundos
  • Instante de Pico: aproximadamente 1,89 segundos

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