(b) O resultado anterior ainda é válido se trocarmos a equação linear homogênea pela não homogênea: y^prime(x)+p(x) y=g(x) ?. Justifique.

Passo 1

Nesse passo resumimos o enunciado e o que precisamos Para a equação não homogênea y'+p(x)y=g(x) queremos saber se o resultado que valia no caso homogêneo (princípio de superposição e espaço vetorial de soluções) ainda vale. Vamos usar definições de equação linear e testar combinações de soluções.

Passo 2

Na equação homogênea y'+p(x)y=0 vale o princípio de superposição: se y1 e y2 são soluções então qualquer combinação linear c1y1+c2y2 também é solução. Esse resultado decorre do fato da equação ser homogênea.

Passo 3

Agora testamos superposição na não homogênea. Suponha y1 e y2 tais que
y1'+p(x)y1=g(x),
$$y_2’+p(x)y_2=g(x).
y2'+p(x)y2=g(x) ãy’+p(x)y=c_1(y_1’+p(x)y_1)+c_2(y_2’+p(x)y_2)=c_1g(x)+c_2g(x)=(c_1+c_2)g(x),$$
que só é igual a y=c1y1+c2y2 se y'+p(x)y=c1(y1'+p(x)y1)+c2(y2'+p(x)y2)=c1g(x)+c2g(x)=(c1+c2)g(x),. Logo não vale para combinações gerais.

Passo 4

Apesar disso, a diferença de duas soluções da não homogênea satisfaz a homogênea: se y1,y2 resolvem y'+p(x)y=g(x), então
$$(y_2-y_1)’+p(x)(y_2-y_1)=g(x)-g(x)=0,
$$
o que nos dá o espaço vetorial das soluções homogêneas.

Passo 5

Dessa observação concluímos que para resolver a não homogênea precisamos de uma solução particular yp e somar a geral da homogênea yh. Ou seja,
$$y(x)=y_p(x)+C,e^{-\int p(x),dx}.
$$

Resposta

Não. O princípio de superposição não vale na forma geral para a equação não homogênea, pois a soma de duas soluções gera (c1+c2)g(x) em vez de g(x). Apenas a diferença de duas soluções satisfaz a homogênea, e a solução geral da não homogênea é a soma de uma solução particular com a geral da homogênea.

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