(b) O resultado anterior ainda é válido se trocarmos a equação linear homogênea pela não homogênea:
?. Justifique.
Passo 1
Nesse passo resumimos o enunciado e o que precisamos Para a equação não homogênea
queremos saber se o resultado que valia no caso homogêneo (princípio de superposição e espaço vetorial de soluções) ainda vale. Vamos usar definições de equação linear e testar combinações de soluções.
Passo 2
Na equação homogênea
vale o princípio de superposição: se
e
são soluções então qualquer combinação linear
também é solução. Esse resultado decorre do fato da equação ser homogênea.
Passo 3
Agora testamos superposição na não homogênea. Suponha
e
tais que
$$y_2’+p(x)y_2=g(x).
que só é igual a
se
. Logo não vale para combinações gerais.
Passo 4
Apesar disso, a diferença de duas soluções da não homogênea satisfaz a homogênea: se
resolvem
, então
$$(y_2-y_1)’+p(x)(y_2-y_1)=g(x)-g(x)=0,
$$
o que nos dá o espaço vetorial das soluções homogêneas.
o que nos dá o espaço vetorial das soluções homogêneas.
Passo 5
Dessa observação concluímos que para resolver a não homogênea precisamos de uma solução particular
e somar a geral da homogênea
. Ou seja,
$$y(x)=y_p(x)+C,e^{-\int p(x),dx}.
$$
Resposta
Não. O princípio de superposição não vale na forma geral para a equação não homogênea, pois a soma de duas soluções gera
em vez de
. Apenas a diferença de duas soluções satisfaz a homogênea, e a solução geral da não homogênea é a soma de uma solução particular com a geral da homogênea.