Considere as equações diferenciais lineares:
Suponha que
é solução da equação homogênea e que
é uma solução da equação não homogênea. Mostre então que qualquer outra solução da equação não homogênea é da forma
, para algum valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dadas as equações lineares de primeira ordem
y’(x)+p(x)y=0 e y’(x)+p(x)y=q(x), se y₁(x) é solução da homogênea e yₚ(x) é uma solução da não homogênea, então qualquer outra solução da não homogênea se escreve como c·y₁(x)+yₚ(x). O conteúdo envolve ODE linear de primeira ordem e o princípio de superposição, usando a ideia de diferença de soluções.
y’(x)+p(x)y=0 e y’(x)+p(x)y=q(x), se y₁(x) é solução da homogênea e yₚ(x) é uma solução da não homogênea, então qualquer outra solução da não homogênea se escreve como c·y₁(x)+yₚ(x). O conteúdo envolve ODE linear de primeira ordem e o princípio de superposição, usando a ideia de diferença de soluções.
Passo 2
Seja y₂(x) uma solução qualquer da equação não homogênea
Definimos u(x)=y₂(x)−yₚ(x). Então fazemos u’ e substituímos:
Passo 3
Calculamos
Como y₂ e yₚ satisfazem a não homogênea, temos
y₂’+p y₂=q e yₚ’+p yₚ=q. Subtraindo essas duas igualdades, obtemos
y₂’+p y₂=q e yₚ’+p yₚ=q. Subtraindo essas duas igualdades, obtemos
ou seja, u satisfaz a equação homogênea.
Passo 4
Sabemos que a solução geral da homogênea u’+p(x)u=0 é u(x)=C·y₁(x), para alguma constante C∈ℝ. Portanto, voltando ao u: u(x)=y₂(x)−yₚ(x)=C·y₁(x). Daí
Passo 5
isolamos y₂ e concluímos
Isso mostra que qualquer solução da não homogênea tem essa forma.
Resposta
Qualquer solução da equação não homogênea é dada por y(x)=c·y₁(x)+yₚ(x), com c∈ℝ.