Considere as equações diferenciais lineares:
y^prime(x)+p(x) y=0 ; y^prime(x)+p(x) y=q(x)
Suponha que y1(x) é solução da equação homogênea e que yp(x) é uma solução da equação não homogênea. Mostre então que qualquer outra solução da equação não homogênea é da forma c y1(x)+yp(x), para algum valor de c in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas as equações lineares de primeira ordem
y’(x)+p(x)y=0 e y’(x)+p(x)y=q(x), se y₁(x) é solução da homogênea e yₚ(x) é uma solução da não homogênea, então qualquer outra solução da não homogênea se escreve como c·y₁(x)+yₚ(x). O conteúdo envolve ODE linear de primeira ordem e o princípio de superposição, usando a ideia de diferença de soluções.

Passo 2

Seja y₂(x) uma solução qualquer da equação não homogênea
y₂'(x)+p(x)y₂(x)=q(x)
Definimos u(x)=y₂(x)−yₚ(x). Então fazemos u’ e substituímos:

Passo 3

Calculamos
u'(x)=y₂'(x)−yₚ'(x)
Como y₂ e yₚ satisfazem a não homogênea, temos
y₂’+p y₂=q e yₚ’+p yₚ=q. Subtraindo essas duas igualdades, obtemos
u'(x)+p(x)u(x)=0,
ou seja, u satisfaz a equação homogênea.

Passo 4

Sabemos que a solução geral da homogênea u’+p(x)u=0 é u(x)=C·y₁(x), para alguma constante C∈ℝ. Portanto, voltando ao u: u(x)=y₂(x)−yₚ(x)=C·y₁(x). Daí

Passo 5

isolamos y₂ e concluímos
y₂(x)=C·y₁(x)+yₚ(x)
Isso mostra que qualquer solução da não homogênea tem essa forma.

Resposta

Qualquer solução da equação não homogênea é dada por y(x)=c·y₁(x)+yₚ(x), com c∈ℝ.

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