(b) Sabemos que a reta x+y=0 tangencia o gráfico de uma função f em determinado ponto e que essa função é tal que f^prime prime(x)=3 x^2 e f^prime(0)=0. Determine a função f.

Passo 1

O enunciado diz que a reta x+y=0 (ou y=-x) tangencia o gráfico de uma função f em algum ponto, e que
f''(x)=3x^2,
além de sabermos que f'(0)=0. Para determinar f, vamos:
  1. integrar f'' para achar f' e usar f'(0)=0;
  2. integrar f' para obter f com uma constante;
  3. impor as condições de tangência (inclinação e ponto) para fixar a segunda constante.

Passo 2

Integramos f''(x)=3x^2 para obter f'(x). Temos
f'(x)=integral 3x^2,dx = x^3 + C1
Como f'(0)=0, substituindo x=0 0 = 0^3 + C1, logo C1=0. Portanto
f'(x)=x^3

Passo 3

Agora integramos f'(x)=x^3 para achar f(x). Obtemos
f(x)=integral x^3,dx = 14x^4 + C2

Passo 4

Para que a reta y=-x seja tangente em x=a, a inclinação da reta ( -1) deve igualar f'(a). Ou seja,
f'(a)=a^3 = -1 Rightarrow a=-1

Passo 5

Como o ponto de tangência também pertence à reta y=-x, vale
f(a) = -a
Substituindo a=-1 em f(x)=tfrac14x^4 + C2
14(-1)^4 + C2 = -(-1) = 1 Rightarrow 14 + C2 = 1 Rightarrow C2 = 34

Resposta

f(x) = 14x^4 + 34

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