Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Para o item h), considere o seguinte subconjunto de (\mathbb{R}^{3}) com a operação de soma e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Ele é um espaço vetorial?
Conjunto dos elementos ((x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}) tais que (3 x+4 y=1, z=0).

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos, nos itens a)–g), quais subconjuntos de f:RtoR são espaços vetoriais – mas esses subconjuntos não foram especificados. Sem a descrição de cada um deles não é possível verificar as propriedades de subespaço vetorial.

Passo 2

No item h) temos o subconjunto de R^3 dado por
S = (x,y,z)inR^3 mid 3x + 4y = 1,; z=0
Para ser subespaço vetorial, S deve, em particular, conter o vetor zero (0,0,0). Mas
3cdot 0 + 4cdot 0 = 0 neq 1,
logo (0,0,0)notin S. Portanto S falha já nessa condição básica de subespaço.

Resposta

O item h) não é um espaço vetorial.
Para os itens a)–g) não há como decidir sem a lista dos subconjuntos.

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