Um ponto desloca-se sobre a hipérbole x y=4, x>0, de tal modo que a velocidade da ordenada y do ponto é 10 m / s. Determine a velocidade da abscissa x do ponto quando x=2 m.
(0,75)
Pensamos x, y (em metros) como funções do tempo t (em segundos). Derivando com respeito a t,
d xd t y+d yd t x=0
No instante pretendido, temos x=2, donde 2 y=4, y=2, e temos d y / d t=10,
donde
d xd t 2+10(2)=0
A velocidade da abscissa é d x / d t=-10(m / s).

Passo 1

O enunciado diz que um ponto se move sobre a hipérbole x,y=4 (com x>0) de forma que a taxa de variação de y em relação ao tempo é dydt=10 m/s. Queremos encontrar a taxa de variação dxdt quando x=2 m.

Passo 2

Derivamos implicitamente a relação x,y=4 em função do tempo t. Aplicando a regra do produto,
ddt(x,y)=ddt(4)Longrightarrow dxdt,y + dydt,x = 0

Passo 3

No instante em que x=2 m, da equação x,y=4 segue
y=4x = 42 = 2 m

Passo 4

Substituindo x=2, y=2 e dydt=10 m/s na equação
dxdt,y + dydt,x = 0
temos
dxdtcdot 2 + 10cdot 2 = 0 Longrightarrow 2,dxdt = -20 Longrightarrow dxdt = -10 m/s

Resposta

dxdt = -10 m/s

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