Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação de Bernoulli
que pode ser escrita na forma
com
,
e
. Vamos usar o método de Bernoulli, que transforma essa ODE numa linear pela substituição
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão, dividindo tudo por
:
Como
, definimos
Em seguida, calculamos a derivada
.
Passo 3
Derivando
em função de
temos
Mas da equação padrão
Logo,
Reconhecendo
, obtemos a ODE linear em
:
Passo 4
Para resolver
usamos o fator integrante
. Multiplicando a equação por
dá
Integramos ambos os lados:
Fazendo integração por partes, encontra-se
portanto
Passo 5
Voltando à substituição
, temos
e finalmente
onde
é a constante de integração.