Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
3 y^prime+y=(1-2 x) y^4

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação de Bernoulli
3y' + y = (1-2x),y^4,
que pode ser escrita na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com P(x)=tfrac13, Q(x)=tfrac1-2x3 e n=4. Vamos usar o método de Bernoulli, que transforma essa ODE numa linear pela substituição
z = y^1-n = y^-3

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão, dividindo tudo por 3:
y' + tfrac13,y = tfrac1-2x3,y^4
Como n=4, definimos
z = y^-3
Em seguida, calculamos a derivada z'.

Passo 3

Derivando z em função de x temos
z' = -3,y^-4,y'
Mas da equação padrão
y' = tfrac1-2x3,y^4 ;-; tfrac13,y
Logo,
z' = -3,y^-4l(tfrac1-2x3,y^4 - tfrac13,yr) = -(1-2x) + y^-3
Reconhecendo y^-3=z, obtemos a ODE linear em z:
z' - z = 2x - 1

Passo 4

Para resolver
z' - z = 2x - 1
usamos o fator integrante mu(x)=e^-x. Multiplicando a equação por e^-x
(z,e^-x)' = (2x-1),e^-x
Integramos ambos os lados:
z,e^-x = integral (2x-1)e^-x,dx
Fazendo integração por partes, encontra-se
integral (2x-1)e^-xdx = -(2x+1)e^-x + C,
portanto
z,e^-x = -(2x+1)e^-x + C Longrightarrow z = C,e^x - 2x - 1

Passo 5

Voltando à substituição z=y^-3, temos
y^-3 = C,e^x - 2x - 1 Longrightarrow y^3 = 1C,e^x - 2x - 1
e finalmente
y(x) = l(C,e^x - 2x - 1r)^-1/3,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = l(C,e^x - 2x - 1r)^-1/3

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