b) Sabendo que a raiz quadrada de um número primo é irracional, prove que se
e
são primos distintos, então
e
são números irracionais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado que √p e √q são irracionais para p e q primos distintos, então as somas e diferenças √p+√q e √p−√q também são irracionais.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que √p+√q seja racional, isto é, exista r racional tal que
(1) √p+√q = r.
Então √p = r−√q. Elevando (1) ao quadrado, temos
p = (√p)^2 = (r−√q)^2 = r^2 − 2r√q + q.
Isolando √q,
2r√q = r^2 + q − p,
√q = \frac{r^2 + q − p}{2r}.
Como r, p e q são racionais, o lado direito é racional, o que implica √q racional, contradizendo a hipótese. Logo √p+√q é irracional.
Passo 3
Para √p−√q podemos usar a expressão já obtida para a soma. Note que
p−q = (√p+√q)(√p−√q).
Como p−q é inteiro não nulo (p≠q) e já mostramos que √p+√q é irracional, a razão
√p−√q = \frac{p−q}{√p+√q}
é uma divisão de um racional não zero por um irracional, o que resulta em irracional. Portanto √p−√q também é irracional.
Resposta
Como desejado, tanto
quanto
são números irracionais.