a) Mostre que se x e y são números irracionais tais que x^2-y^2 seja racional não nulo, então x+y e x-y são ambos irracionais.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números irracionais x e y tais que x^2-y^2 é um número racional diferente de zero. Vamos mostrar que, sob essas hipóteses, tanto x+y quanto x-y não podem ser racionais.

Passo 2

Suponha, por contradição, que x+y seja racional. Defina
r = x + y in Q,
e
s = x^2 - y^2 in Qsetminus0
Então podemos escrever
x - y = x^2 - y^2x+y = sr,
que é racional, pois é quociente de dois racionais. Assim temos que
x = (x+y)+(x-y)2 = r + (s/r)2 in Q
e de modo análogo yinQ. Mas isso contraria a hipótese de que x e y são irracionais. Logo x+y não pode ser racional, ou seja, é irracional.

Passo 3

De forma análoga, suponha que x-y seja racional. Defina
t = x - y in Q
Como s = x^2 - y^2 é racional, temos
x + y = x^2 - y^2x-y = st,
que seria racional. Novamente chegaríamos à contradição de x e y ficarem racionais. Portanto x-y também é irracional.

Resposta

Concluímos que x+y e x-y são ambos irracionais.

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