a) Mostre que se
e
são números irracionais tais que
seja racional não nulo, então
e
são ambos irracionais.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois números irracionais
e
tais que
é um número racional diferente de zero. Vamos mostrar que, sob essas hipóteses, tanto
quanto
não podem ser racionais.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Defina
e
Então podemos escrever
que é racional, pois é quociente de dois racionais. Assim temos que
e de modo análogo
. Mas isso contraria a hipótese de que
e
são irracionais. Logo
não pode ser racional, ou seja, é irracional.
Passo 3
De forma análoga, suponha que
seja racional. Defina
Como
é racional, temos
que seria racional. Novamente chegaríamos à contradição de
e
ficarem racionais. Portanto
também é irracional.
Resposta
Concluímos que
e
são ambos irracionais.