Sejam
e
números reais positivos tais que
. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dados
com
, vale a desigualdade
. O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade aritmético‐geométrica (AM–GM).
Passo 2
Começamos expandindo o produto e usando
para simplificar em função de
:
Passo 3
Aplicamos a desigualdade AM–GM a
e
:
Como
, segue que
e portanto
Passo 4
Substituindo no resultado expandido, obtemos
concluindo a demonstração.