Sejam x e y números reais positivos tais que x+y=1. Prove que
(1+1x)(1+1y) >= 9

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados x,y>0 com x+y=1, vale a desigualdade (1+1/x)(1+1/y)>=9. O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade aritmético‐geométrica (AM–GM).

Passo 2

Começamos expandindo o produto e usando x+y=1 para simplificar em função de xy:
(1+1x)(1+1y)=1+1x+1y+1xy=1+x+yxy+1xy=1+2xy

Passo 3

Aplicamos a desigualdade AM–GM a x e y:
xy<=(x+y2)^2=14
Como x+y=1, segue que
1xy>=4
e portanto
2xy>=8

Passo 4

Substituindo no resultado expandido, obtemos
(1+1x)(1+1y)=1+2xy>=1+8=9,
concluindo a demonstração.

Resposta

(1+1x)(1+1y)>=9

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