Dada a função, determine a derivada de ordem n e calcule
f(x)=e^2 x e calcule f^(n)(1).

Passo 1

Temos a função f(x)=e^2x. O objetivo é encontrar a derivada de ordem n, ou seja f^(n)(x), e depois calcular f^(n)(1). Vamos usar a regra da cadeia para funções exponenciais.

Passo 2

Começando pelas primeiras derivadas, aplicando a regra da cadeia: a derivada de e^2x é 2e^2x. Assim,
  • f'(x)=2e^2x
  • Derivando de novo: f''(x)=2l(2e^2xr)=2^2e^2x

Passo 3

Percebemos que a cada derivada multiplicamos por mais um fator 2. Portanto, a derivada de ordem n segue o padrão
f^(n)(x)=2^ne^2x

Passo 4

Para calcular f^(n)(1), basta substituir x=1 na expressão acima.

Resposta

f^(n)(x)=2^ne^2x e f^(n)(1)=2^ne^2.

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