Se
e
são conjjuntos não vazios, define-se distância entre
e
por
Prove que se
fechado e
compacto, então
.
Passo 1
Vamos organizar o que temos. São dados dois conjuntos não vazios
e
em
, com
fechado e
compacto, e a distância entre eles
Sabendo que
, nosso objetivo é mostrar que
. Vamos usar a definição de infimum, depois compacidade de
e, por fim, fechamento de
.
Passo 2
Como
, pela definição de infimum existe, para cada
, um par
tal que
Isso define sequências
e
com
.
Passo 3
Como
é compacto, a sequência
admite uma subsequência convergente
cujo limite seja
Passo 4
Pelo triângulo desigualdade e
, tem-se
Como
é fechado, todo limite de sequência em
pertence a
. Logo
.
Passo 5
Encontramos um ponto
que está em
(pela compacidade) e também em
(pelo fechamento). Portanto