Se A e B são conjjuntos não vazios, define-se distância entre A e B por
d(A, B)=\inf \{|a-b| ; a \in A \text { e } b \in B\}
Prove que se d(A, B)=0, \operatorname{com} A fechado e B compacto, então A \cap B \neq \varnothing.

Passo 1

Vamos organizar o que temos. São dados dois conjuntos não vazios A e B em \mathbb{R}, com A fechado e B compacto, e a distância entre eles
d(A,B)=\inf\bigl\{\lvert a-b\rvert : a\in A,\;b\in B\bigr\}.
Sabendo que d(A,B)=0, nosso objetivo é mostrar que A\cap B\neq\varnothing. Vamos usar a definição de infimum, depois compacidade de B e, por fim, fechamento de A.

Passo 2

Como d(A,B)=0, pela definição de infimum existe, para cada n\in\mathbb{N}, um par (a_n,b_n)\in A\times B tal que
\lvert a_n - b_n\rvert \;\le\; d(A,B) + \tfrac1n \;=\;\tfrac1n.
Isso define sequências \{a_n\}\subset A e \{b_n\}\subset B com \lvert a_n-b_n\rvert\to0.

Passo 3

Como B é compacto, a sequência \{b_n\} admite uma subsequência convergente \{b_{n_k}\} cujo limite seja
b_{n_k}\;\longrightarrow\; b\quad\text{com }b\in B.

Passo 4

Pelo triângulo desigualdade e \lvert a_{n_k}-b_{n_k}\rvert\to0, tem-se
a_{n_k} \;=\; b_{n_k} + (a_{n_k}-b_{n_k}) \;\longrightarrow\; b + 0 \;=\; b.
Como A é fechado, todo limite de sequência em A pertence a A. Logo b\in A.

Passo 5

Encontramos um ponto b que está em B (pela compacidade) e também em A (pelo fechamento). Portanto
b\in A\cap B \quad\Longrightarrow\quad A\cap B\neq\varnothing.

Resposta

A\cap B\neq\varnothing

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