Prove que se S \subset \mathbb{R} é finito então S^{\prime}, o seu derivado, é vazio.

Passo 1

O enunciado diz que S\subset\mathbb{R} é um conjunto finito e pede para mostrar que o seu conjunto derivado S' (o conjunto de pontos de acumulação de S) é vazio. O conteúdo aqui é do tópico de análise real: definição de ponto de acumulação e exploração de finitude.

Passo 2

Lembrando a definição: um ponto x_0\in\mathbb{R} é ponto de acumulação de S se, para todo \delta>0, a vizinhança perfurada
(x_0-\delta,\;x_0+\delta)\setminus\{x_0\}
contém algum ponto de S. O conjunto derivado S' é justamente o conjunto de todos esses pontos de acumulação.

Passo 3

Como S é finito, podemos escrever
S=\{s_1,s_2,\dots,s_n\}.
Sejam dois casos para um ponto arbitrário x_0\in\mathbb{R}.
Caso 1: x_0\notin S.
Então cada distância \lvert x_0 - s_i\rvert é estritamente positiva. Defina
d_i = \lvert x_0 - s_i\rvert,\qquad D = \min_{1\le i\le n} d_i.
Como o mínimo de um conjunto finito de números positivos é positivo, temos D>0. Seja então
\delta = \frac{D}{2}>0.
Para esse \delta, nenhum ponto de S cai em (x_0-\delta,x_0+\delta), logo
(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap S = \varnothing
e, em particular,
(x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}
também não contém ponto de S. Assim x_0 não é ponto de acumulação.

Passo 4

Caso 2: x_0\in S.
Suponha x_0 = s_k para algum k. Considere as distâncias aos demais pontos de S: para i\neq k defina
d_i = \lvert s_k - s_i\rvert.
Esses d_i são todos positivos e finitos em número, então
D = \min_{i\neq k} d_i
é bem definido e D>0. Tome
\delta = \frac{D}{2}>0.
Na vizinhança perfurada (s_k-\delta,s_k+\delta)\setminus\{s_k\} não há nenhum outro s_i, pois qualquer s_i com i\neq k está a uma distância pelo menos D de s_k. Logo novamente não há ponto de S na vizinhança perfurada, e s_k não é ponto de acumulação.

Passo 5

Como x_0 era um ponto arbitrário de \mathbb{R}, concluímos que nenhum x_0 pode ser ponto de acumulação de S. Portanto o conjunto derivado de S é vazio.

Resposta

S' = \varnothing.

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