Prove que se
é finito então
, o seu derivado, é vazio.
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto finito e pede para mostrar que o seu conjunto derivado
(o conjunto de pontos de acumulação de
) é vazio. O conteúdo aqui é do tópico de análise real: definição de ponto de acumulação e exploração de finitude.
Passo 2
Lembrando a definição: um ponto
é ponto de acumulação de
se, para todo
, a vizinhança perfurada
contém algum ponto de
. O conjunto derivado
é justamente o conjunto de todos esses pontos de acumulação.
Passo 3
Como
é finito, podemos escrever
Sejam dois casos para um ponto arbitrário
.
Caso 1:
.
Então cada distância é estritamente positiva. Defina
Então cada distância
Como o mínimo de um conjunto finito de números positivos é positivo, temos
. Seja então
Para esse
, nenhum ponto de
cai em
, logo
e, em particular,
também não contém ponto de
. Assim
não é ponto de acumulação.
Passo 4
Caso 2:
.
Suponha para algum
. Considere as distâncias aos demais pontos de
: para
defina
Suponha
Esses
são todos positivos e finitos em número, então
é bem definido e
. Tome
Na vizinhança perfurada
não há nenhum outro
, pois qualquer
com
está a uma distância pelo menos
de
. Logo novamente não há ponto de
na vizinhança perfurada, e
não é ponto de acumulação.
Passo 5
Como
era um ponto arbitrário de
, concluímos que nenhum
pode ser ponto de acumulação de
. Portanto o conjunto derivado de
é vazio.