Prove que:
\lim _{x \rightarrow a} \cos (x)=\cos (a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo real a,
\lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a).
O conteúdo envolvido é a prova de continuidade da função \cos x em x=a. Vamos usar a identidade para a diferença de cossenos e a desigualdade
|\sin t|\le |t|,\quad t\in\mathbb{R},
para obter uma condição \varepsilon\!- \delta.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\cos(x)-\cos(a) =-2\,\sin\!\bigl(\tfrac{x+a}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x-a}{2}\bigr).

Passo 3

Tomando valor absoluto e aplicando as desigualdades conhecidas, obtemos
\bigl|\cos(x)-\cos(a)\bigr| =2\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{x+a}{2}\bigr)\bigr|\;\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{x-a}{2}\bigr)\bigr| \le2\cdot1\cdot\Bigl|\tfrac{x-a}{2}\Bigr| =\bigl|x-a\bigr|.

Passo 4

Agora, dado qualquer \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon.
Então, se \bigl|x-a\bigr|<\delta, segue que
\bigl|\cos(x)-\cos(a)\bigr|\le\bigl|x-a\bigr|<\varepsilon,
o que, pela definição de limite, mostra exatamente que \lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a).

Resposta

\lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a).

Exercícios relacionados