Se a e b são constantes quaisquer, verifique que a função y=a e^-x+b e^-2 x é solução da equação y^prime prime+3 y^prime+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
y = a e^-x + b e^-2x
satisfaz a EDO linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 0
Para isso, vamos calcular y' e y'' e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de
y = a e^-x + b e^-2x
Usando ddxe^kx = k,e^kx, obtemos
y' = a(-1)e^-x + b(-2)e^-2x = -a e^-x - 2b e^-2x

Passo 3

Derivando y' outra vez, temos
y'' = ddxl(-a e^-x - 2b e^-2xr) = -a(-1)e^-x - 2b(-2)e^-2x = a e^-x + 4b e^-2x

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' na expressão y'' + 3y' + 2y:
y'' + 3y' + 2y = (a e^-x + 4b e^-2x) + 3l(-a e^-x - 2b e^-2xr) + 2l(a e^-x + b e^-2xr)
Agrupando termos de e^-x e e^-2x:
= l(a - 3a + 2ar)e^-x + l(4b - 6b + 2br)e^-2x = 0cdot e^-x + 0cdot e^-2x = 0

Resposta

A substituição resulta em 0, logo y = a e^-x + b e^-2x é solução de
y'' + 3y' + 2y = 0

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