Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo 0 y da região
R=(x, y) in R^2: 0<x <= 1 e ln x <= y <= 0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Oy a região
R=(x,y)inR^2:0<x<=1 e ln x<= y<=0
Essa região é limitada acima por y=0 e abaixo por y=ln x, para x entre 0 e 1. Para calcular o volume ao redor de Oy escolhemos o método dos cascos cilíndricos, pois a descrição em termos de x torna direto obter raio e altura de cada casco.

Passo 2

Pelo método dos cascos cilíndricos, um elemento vertical em abscissa x gera um casquelo de raio x, altura igual à diferença entre as funções de contorno e espessura dx. Logo, o volume é
V ;=;2piintegralx=0^1 (raio)times(a<ura),dx ;=;2piintegral0^1xl(a<ura em xr),dx

Passo 3

Na região, o valor máximo de y é 0 e o mínimo é ln x. Assim a altura de cada casco é
0 - ln x = -ln x
Portanto o volume fica
V = 2piintegral0^1xl(-ln xr),dx = 2piintegral0^1(-xln x),dx

Passo 4

A integral
I = integral0^1(-xln x),dx
é imprópria no limite inferior, mas converge. Para calculá-la, use integração por partes: escolha
u=-ln x, dv=x,dx, de modo que
du=-1xdx e v=x^22.
Então
I = lu,vr|0^1 ;-;integral0^1v,du = l-tfracx^22ln xr|0^1 ;-;integral0^1x^22l(-1xr)dx

Passo 5

Avalie os termos:
  1. -tfracx^22ln x|x=1=0 pois ln1=0.
  2. limxto0^+x^2ln x=0, pois x^2 domina ln x.
  3. O segundo termo é
integral0^1x^22,1x,dx = 12integral0^1x,dx = 12cdotx^22|0^1 = 14
Assim I=0+1/4=1/4.

Passo 6

Voltando ao volume,
V = 2picdot I = 2picdot14 = pi2

Resposta

pi2

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