Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \cdot y=1\right}(\quad)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
S = (x,y)inR^2 : xcdot y = 1
como aberto, fechado ou nenhum. O conteúdo de matéria envolve noções de topologia em R^2: definição de conjunto aberto, conjunto fechado e comportamento de preimagem de conjuntos por funções contínuas.

Passo 2

Verificando se S é aberto. Suponha que exista um ponto (x0,y0)in S, isto é, x0y0=1. Se S fosse aberto, existiria algum raio r>0 tal que toda bola B((x0,y0),r) estivesse contida em S. Mas, por exemplo, para qualquer r>0 o ponto
(x0,,y0 + tfrac r2)
pertence a B((x0,y0),r) e tem produto
x0l(y0+tfrac r2r) = x0y0 + tfracr2,x0 = 1 + tfracr2,x0 neq 1
Logo essa bola contém pontos fora de S. Concluímos que S não é aberto.

Passo 3

Verificando se S é fechado. Considere a função
f:R^2 to R, f(x,y)=xcdot y
Essa função é contínua. O conjunto
1subsetR
é fechado em R. Assim
S = f^-1(1)
é preimagem de um fechado por f, logo S é fechado em R^2.

Resposta

B

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