Ao lado de cada conjunto, escreva
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \cdot y=1\right}(\quad)
(\mathbf{A}) se este for aberto,
(\mathbf{B}) se for fechado e
(\mathbf{N}) se não for nem aberto e nem fechado.
\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \cdot y=1\right}(\quad)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto
como aberto, fechado ou nenhum. O conteúdo de matéria envolve noções de topologia em
: definição de conjunto aberto, conjunto fechado e comportamento de preimagem de conjuntos por funções contínuas.
Passo 2
Verificando se
é aberto. Suponha que exista um ponto
, isto é,
. Se
fosse aberto, existiria algum raio
tal que toda bola
estivesse contida em
. Mas, por exemplo, para qualquer
o ponto
pertence a
e tem produto
Logo essa bola contém pontos fora de
. Concluímos que
não é aberto.
Passo 3
Verificando se
é fechado. Considere a função
Essa função é contínua. O conjunto
é fechado em
. Assim
é preimagem de um fechado por
, logo
é fechado em
.