Se a e b são dois inteiros positivos quaisquer, prove que existe um inteiro positivo n tal que n a >= b. (Use o PBO).

Passo 1

O problema pede para mostrar que, dados inteiros positivos a e b, existe ninZ^+ tal que n a>= b. Vamos usar o Princípio da Boa Ordenação, que diz que todo subconjunto não vazio de inteiros positivos tem um menor elemento.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que não exista n com n a>= b. Então, para todo ninZ^+ temos n a< b, ou seja, b - n a>0. Defina o conjunto
$$S={,b - n a:,n\in\mathbb{Z}^+,}.
$$
Esse conjunto é não vazio e consiste só de inteiros positivos.

Passo 3

Pelo Princípio da Boa Ordenação, S tem um menor elemento. Seja
$$m=\min S = b - k a,
m=min S = b - k a, éb - (k+1)a = (b - k a) - a = m - a < m,
$$
o que contradiz o fato de kinZ^+ ser o menor elemento de n a< b.

Passo 4

Portanto nossa hipótese inicial estava errada: deve existir algum ninZ^+ tal que n a>= b.

Resposta

Concluímos que existe um inteiro positivo n satisfazendo n a>= b.

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