Use o PBO para mostrar que:
Toda função monótona não-crescente
é constante a partir de certo ponto.
Toda função monótona não-crescente
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se temos uma função monótona não-crescente f:
, então existe um índice
e um valor
tais que
para todo
. Vamos usar o Princípio da Boa Ordenação (PBO), que diz que todo subconjunto não-vazio de
tem um menor elemento.
Passo 2
Definimos o conjunto imagem de
:
Como
tem domínio em
, o conjunto
é não-vazio. Pelo PBO, existe um menor elemento em
; chamemos esse mínimo de
. Por definição de imagem, existe então um índice
tal que
.
Passo 3
Agora, para qualquer
, pela não-crescência de
temos
Mas, como
é o menor valor assumido por
, não existe
com
. Logo
e daí segue que
. Portanto, a partir de
, a função permanece constante no valor
.
Resposta
Existe
e
tais que, para todo
,
.