O enunciado pede para provar que, para todo inteiro , o número pode ser escrito como soma de dois quadrados de naturais, isto é, . O tema é representação de inteiros como soma de dois quadrados e vamos usar a propriedade multiplicativa dessa forma (identidade de Gauss para normas em ).
Passo 2
Primeiro, verificamos o caso base . Temos . Logo, podemos tomar e .
Passo 3
Suponha que, para algum , exista tal que . Então, preparando o passo de indução, usamos a identidade de soma de quadrados:
Observamos que
5{k+1}=5\cdot5k=5(a_k2+b_k2)=(a_k2+b_k2)(12+22).
Passo 4
Definimos então
a_{k+1}=|a_k-2b_k|,\quad b_{k+1}=a_k+2b_k,
e obtemos
5{k+1}=a_{k+1}2+b_{k+1}^2.
Com isso, fechamos o passo de indução: se existe representação para , existe para $5^{k+1}.
Passo 5
Por indução matemática, a propriedade vale para todo .