Prove que para todo inteiros n >= 1 existem an, bn in N tais que 5^n=an^2+bn^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n>=1, o número 5^n pode ser escrito como soma de dois quadrados de naturais, isto é, 5^n=an^2+bn^2. O tema é representação de inteiros como soma de dois quadrados e vamos usar a propriedade multiplicativa dessa forma (identidade de Gauss para normas em Z[i]).

Passo 2

Primeiro, verificamos o caso base n=1. Temos 5=1^2+2^2. Logo, podemos tomar a1=1 e b1=2.

Passo 3

Suponha que, para algum k>=1, exista (ak,bk)in N^2 tal que 5^k=ak^2+bk^2. Então, preparando o passo de indução, usamos a identidade de soma de quadrados:
(ak^2+bk^2)(1^2+2^2)=(akcdot1-bkcdot2)^2+(akcdot2+bkcdot1)^2
Observamos que
5{k+1}=5\cdot5k=5(a_k2+b_k2)=(a_k2+b_k2)(12+22).

Passo 4

Definimos então
a_{k+1}=|a_k-2b_k|,\quad b_{k+1}=a_k+2b_k,
e obtemos
5{k+1}=a_{k+1}2+b_{k+1}^2.
Com isso, fechamos o passo de indução: se existe representação para 5^k, existe para $5^{k+1}.

Passo 5

Por indução matemática, a propriedade vale para todo n>=1.

Resposta

Basta definir recursivamente
a1=1, b1=2, an+1=|an-2bn|, bn+1=an+2bn
Então, para todo n>=1, temos 5^n=an^2+bn^2.

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