Princípio da Boa Ordenação para os Inteiros: prove que todo subconjunto dos inteiros não-vazio e limitado inferiormente possui elemento mínimo.

Passo 1

Temos um conjunto S ⊆ ℤ, S ≠ ∅ e existe m ∈ ℤ tal que m ≤ x para todo x ∈ S. O conteúdo é o Princípio da Boa Ordenação para ℕ e faremos uma redução de S a um subconjunto de ℕ.

Passo 2

Definimos
T = x - m : x in S
Como para todo x ∈ S vale x ≥ m, temos x - m ≥ 0, logo T ⊆ ℕ. E como S ≠ ∅, T também não é vazio.

Passo 3

Pelo Princípio da Boa Ordenação de ℕ, todo subconjunto não vazio de ℕ tem mínimo. Portanto existe t₀ ∈ T tal que para todo t ∈ T vale t₀ ≤ t.

Passo 4

Como t₀ ∈ T, existe x₀ ∈ S com t₀ = x₀ - m. Para qualquer x ∈ S, x - m ∈ T e, por mínimo, t₀ ≤ x - m, isto é x₀ = t₀ + m ≤ x. Assim x₀ é o menor elemento de S.

Resposta

O elemento mínimo de S é x₀ = t₀ + m, onde t₀ = min,T. Portanto todo subconjunto não vazio de ℤ limitado inferiormente possui elemento mínimo.

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