Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
P(A^C mid A)=0.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são eventos num espaço de probabilidade e que P(A)>0. Precisamos mostrar que
Pl(A^Cmid Ar)=0
Aqui o conteúdo principal é a definição de probabilidade condicional e a observação de que Acap A^C=emptyset.

Passo 2

Lembrando a definição de probabilidade condicional: para qualquer evento E com P(A)>0,
P(Emid A)=P(Ecap A)P(A)
No nosso caso, tomamos E=A^C.

Passo 3

Observe que
A cap A^C=emptyset,
pois nenhum elemento pode pertencer ao mesmo tempo a A e ao seu complemento.

Passo 4

Como a probabilidade do evento vazio é zero, temos
Pl(Acap A^Cr)=P(emptyset)=0

Passo 5

Substituindo na definição de probabilidade condicional:
Pl(A^Cmid Ar) =Pl(Acap A^Cr)P(A) =0P(A) =0

Resposta

0

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