Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
P(A cup B mid A)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois eventos A e B num espaço de probabilidade com P(A)>0, vale
P(Acup B mid A) = 1
Aqui o conteúdo é probabilidade condicional e álgebra de conjuntos. Vamos usar a definição
P(Cmid A)=P(Ccap A)P(A),
além da propriedade de interseção e união.

Passo 2

Pela definição de probabilidade condicional, desde que P(A)>0 temos
P(Acup B mid A) = Pl((Acup B)cap Ar)P(A)

Passo 3

Pela álgebra de conjuntos, a interseção de Acup B com A é exatamente A, porque todo ponto de A está em Acup B. Em símbolos:
(Acup B)cap A = A

Passo 4

Substituindo essa igualdade na fórmula da probabilidade condicional, vem
P(Acup B mid A) = P(A)P(A) = 1

Resposta

P(Acup B mid A)=1

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