Se A e B são eventos e P(A)>0, prove que:
Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A mid A cup B)=P(A) P(A)+P(B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A e B são eventos mutuamente exclusivos (ou seja, Acap B=emptyset) e P(A)>0, então
Pl(Amid Acup Br) =P(A)P(A)+P(B)
Para resolver isso, vamos usar a definição de probabilidade condicional e a propriedade de aditividade para eventos disjuntos.

Passo 2

Recordando a definição de probabilidade condicional, para quaisquer eventos X e Y com P(Y)>0, vale
P(Xmid Y) =P(Xcap Y)P(Y)

Passo 3

Aplicamos essa definição com X=A e Y=Acup B:
Pl(Amid Acup Br) =Pl(Acap (Acup B)r)P(Acup B)
Como Acap (Acup B)=A, o numerador fica simplesmente P(A).

Passo 4

Para o denominador usamos que A e B são mutuamente exclusivos, logo
P(Acup B) =P(A)+P(B)

Passo 5

Substituindo numerador e denominador na fórmula da condicional, obtemos
Pl(Amid Acup Br) =P(A)P(A)+P(B),
que é exatamente o que se queria provar.

Resposta

Pl(Amid Acup Br) =P(A)P(A)+P(B)

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