Se a e b são inteiros positivos, determine o raiu de convergência da série de potências
sumn=1^infty (n+a)!n!(n+b)! x^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty (n+a)!n!,(n+b)!,x^n
onde a e b são inteiros positivos. O conteúdo principal aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Pelo teste da razão, consideramos o quociente
L=limntoinfty|un+1un|,
onde
un=(n+a)!n!,(n+b)!,x^n
Calculando
un+1un =(n+1+a)!(n+1)!,(n+1+b)!,x^n+1cdotn!,(n+b)!(n+a)!,x^n = xcdotn+a+1(n+1)(n+b+1)

Passo 3

Agora achamos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinftygl|xcdotn+a+1(n+1)(n+b+1)gr| =|x|cdotlimntoinftyn+a+1n^2+termos de ordem n =|x|cdot0=0
Como L=0<1 para todo x real (ou complexo), a série converge para todo valor de x.

Passo 4

Pelo teste da razão, o raio de convergência R é o valor de |x| tal que L<1; aqui L=0 para qualquer x, logo

Resposta

R = \infty

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